a11a1?a?(ln2?ln?ln)2241?a41?a取e为底
?a112a11?aa11?ln2??ln?(??) 2241?a41?a41?a1?a1a11?aa2 ?ln2??ln?2222(1?a)41?a41?a111?a?ln2?ln 241?a= 0
1?a1? 1?a43?a?
51311131 ?c??log2?log??log92541?25454312531?log2?log?log 104162043153?log2?log?log2 10241015?log 24
3.3 在有扰离散信道上传输符号0和1，在传输过程中每100个符号发生一个错误，已知P(0)=P(1)=1/2，信源每秒内发出1000个符号，求此信道的信道容量。
解：
由题意可知该二元信道的转移概率矩阵为：
?0.990.01?P???
0.010.99??为一个BSC信道
所以由BSC信道的信道容量计算公式得到：
C?logs?H(P)?log2??pilogi?121?0.92bit/signpi1Ct?C?1000C?920bit/sect
3.4 求图中信道的信道容量及其最佳的输入概率分布.并求当e=0和1/2时的信道
容量C的大小。
X 0
1 1－e
Y 0
1 1
e e 2
2
00??1??,此信道为非奇异矩阵,又r=s,可利用方程组求解
e解: 信道矩阵P=01?e???e1－e??0?
?3j=1P(bj|ai)bj=?P(bj|ai)logP(bj|ai) (i=1,2,3)
j=13ìb1=0???í(1-e)b2+eb3=(1-e)log(1-e)+eloge ?????eb2+(1-e)b3=eloge+(1-e)log(1-e)解得b1=0
b2=b3=(1-e)log(1-e)+eloge
所以 C=log
?2j=log[20+2×2(1-e)log(1-e)+eloge]
bej=log[1+21-H(e)]=log[1+2(1-e)(1-e)e]
ì11?1-C-C?P(b)=2b=2==1?(1-e)e1-H(e)?1+2(1-e)e1+2? ?ee?(1-e)e??P(b2)=2b2-C=í(1-e)e?1+2(1-e)e???P(b3)=2b3-C=P(b2)??????3而 P(bj)=?P(ai)P(bj|ai) (j=1,2,3)
i=1ìP(b1)=P(a1)???得íP(b2)=P(a2)(1-e)+P(a3)e ?????P(b3)=P(a2)e+P(a3)(1-e)1所以 P(a1)=P(b1)= (1-e)e1+2(1-e)e(1-e)eee P(a2)=P(a3)=P(b2)=P(b3)=(1-e)e1+2(1-e)e当e=0时,此信道为一一对应信道,得
1 C=log3, P(a1)=P(a2)=P(a3)=
311当e=1/2时,得 C=log2, P(a1)=,P(a2)=P(a3)=
24
3.5 求下列二个信道的信道容量，并加以比较
?p??p??2???p??p?????（1）
?p??p??2?? （2）?p??p?????其中p+p=1
2?00?? 2???
解：
（1）此信道是准对称信道，信道矩阵中Y可划分成三个互不相交的子集 由于集列所组
?p??成的矩阵??p???p????2???,??而这两个子矩阵满足对称性，因此可直接利用准对?2??p??????2称信道的信道容量公式进行计算。 C1=logr-H(p1’ p2’ p3’)-
?NklogMk
k?1其中r=2,N1=M1=1-2? N2=2? M2=4? 所以 C1=log2-H(p??,p-ε,2ε)-(1-2?)log(1-2?)-2?log4?
=log2+(p??)log(p??)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog4ε =log2-2εlog2-(1-2ε)log(1-2ε)+(p??)log(p??)+(p-ε)log(p-ε) =(1-2ε)log2/(1-2ε)+(p??)log(p??)+(p-?)log(p-?) 输入等概率分布时达到信道容量。
（2）此信道也是准对称信道，也可采用上述两种方法之一来进行计算。先采用准对称信
道的信道容量公式进行计算，此信道矩阵中Y可划分成两个互不相交的子集，由子
?p??集列所组成的矩阵为??p???C=logr-H(p-?,p-ε,2ε,0)-2p????2??，??0p?????0??这两矩阵为对称矩阵 其中2???r=2,N1=M1=1-2? N2=M2=2?，所以
?NklogMk
k?1=log2+(p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog2ε =log2-(1-2ε)log(1-2ε)+( p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε) =(1-2ε)log2/(1-2ε)+2εlog2+(p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε) =C1+2εlog2
输入等概率分布（P（a1）=P（a2）=1/2）时达到此信道容量。比较此两信道容量，可得C2=C1+2εlog2
3-6 设有扰离散信道的传输情况分别如图3－17所示。求出该信道的信道容量。
X1/21/21/21/21/21/21/2Y1/2图3-17
00???0110?22? 解：?11?0022??11?00?22?1212对称信道
C?logm?H(Y|ai)
1?log4??2log2
2取2为底 C?1bit/符号
3-7 (1)
条件概率 ，联合概率，后验概率
111p(y0)?? ， p(y1)?? ，p(y2)??
326
（2） H(Y/X)=
（3）
当接收为y2，发为x1时正确，如果发的是x1和x3为错误，各自的概率为：
P(x1/y2)=，P(x2/y2)=，P(x3/y2)=
555113其中错误概率为： Pe=P(x1/y2)+P(x3/y2)=（4）平均错误概率为
（5）仍为0.733 （6）此信道不好
原因是信源等概率分布，从转移信道来看 正确发送的概率x1-y1的概率0.5有一半失真 x2-y2的概率0.3有失真严重 x3-y3的概率0 完全失真 （7）
H(X/Y)=
16Log(2)?110Log(5)?115Log??5?2?215Log??5?2?110110Log??5?3?130310Log??5?3?15?35?0.8
??????Log(5)????Log(10)????1.301
3. 8 设加性高斯白噪声信道中，信道带宽3kHz，又设{(信号功率+噪声功率)/
噪声功率}=10dB。试计算该信道的最大信息传输速率Ct。
解：
3. 9 在图片传输中，每帧约有2.25?106个像素，为了能很好地重现图像，能分16个亮度电平，并假设亮度电平等概分布。试计算每分钟传送一帧图片所需信道的带宽（信噪功率比为30dB）。
解：
H?log2n?log216?4 bit/symbolI?NH?2.25?106?4?9?106 bit?10I9?106Ct???1.5?105 bit/st60?PX?Ct?Wlog??1?P??N??Ct
3-10 一个平均功率受限制的连续信道，其通频带为1MHZ，信道上存在白色高斯噪声。 （1）已知信道上的信号与噪声的平均功率比值为10，求该信道的信道容量；
（2）信道上的信号与噪声的平均功率比值降至5，要达到相同的信道容量，信道通频带应
1.5?105W???15049 Hz)?PX?log2(1?1000log??1?P??N??