常州大学本科生毕业论文
1.4 论文研究的主要问题
本文主要研究的是直线二级倒立摆系统数学模型的建立于分析，并对倒立摆系统的控制方法进行了研究。本文就以下三个方面进行了研究： ① 二阶倒立摆数学模型的建立与分析。
首先采用了拉格朗日方程对系统进行数学建模，并分析系统的稳定性、能控性和能观性。
② 二阶倒立摆控制原理及其方法研究。
本文主要采用了两种控制方法对系统进行研究，一种是PID控制方法，另一种是线性二次型最优控制方法。主要依据Q、R矩阵的物理意义对LQR控制器中的加权矩阵优化得出较好的控制参数。其中，对线性二次型最优控制算法当中Q、R矩阵的选择进行了多次试验，通过试误法确定了Q、R对最终输出的影响，并最终确定了一组教优的控制参数。
③ 利用MATLAB对系统进行仿真，并分析仿真结果。
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2 二级倒立摆数学模型的建立
2.1 引言
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解
对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对控制对象本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用是非常巨大的，能帮助我们很多实际问题。
建立倒立摆数学模型时一般采用牛顿运动规律，通常要解算大量的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加复杂，为此本文采用分析力学方法中的Lagrange方程推导倒立摆的系统模型。 Lagrange方程有如下特点：
① 它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统的自由度是一致的。
② 理想约束反力不出现在方程组中，因此在建立运动方程式时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。
③ Lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程，为了列出系统的运动方程，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量－系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量－广义力。
因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。通过分析该方程的特点，对二阶倒立摆系统这样一个多变量、快速运动的系统模型的建立Lagrange方程能起到极大的简化作用。 2.2 二级倒立摆的结构和工作原理
如图2.1所示。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体（小车，上摆，下摆，皮带轮等）和光电码盘五大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，下面一节摆杆（和小车相连）的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡和伺服驱动器，上面一节摆杆的角度和角速度信号则由光电码盘3反馈。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生
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相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持两节摆杆的平衡。
图2.1 二级倒立摆的系统系统结构和工作原理
2.3 数学模型的建立
首先，建立数学模型之前要了解拉格朗日运动方程，拉格朗日提出了用能量的方法推导物理系统的数学模型，首先我们引入广义坐标，拉格朗日方程[1,8]。
广义坐标： 系统的广义坐标是描述系统运动必需的一组独立坐标，广义坐标数等同于系统自由度数。如果系统的运动用n维广义坐标q1,q2,…qn来表示，我们可以把这n维广义坐标看成是n维空间的n位坐标系中的坐标。对于任一系统可由n维空间中的一点来表征。系统在n维空间中运动形成的若干系统点连成一条曲线，此曲线表示系统点的轨迹。 拉格朗日方程：
L(q,q)?T(q,q)?V(q,q) (2.1)
式中，L —— 拉格朗日算子；
q —— T ——
系统的广义坐标； 系统的动能；
V —— 系统的势能。
拉格朗日方程由广义坐标qi和L表示为：
d?L?L??fi ?i?qidt?q(2.2)
式中，i?1,2,3?n，fi——系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的三
个广义坐标分别是x,?1,?2。
为了推导并建立二级倒立摆的数学模型，先做一些假设： ① 上摆、下摆及小车均是刚体；
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② 皮带轮与传动带之间无相对滑动；传动皮带无伸长现象； ③ 小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度；
④ 小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，且无滞后，忽略电机电枢绕组中的电感；
⑤ 下摆转动时所受到的摩擦力矩正比于下摆的转动速度；
⑥ 上摆运动时所受到的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度； 二级倒立摆的运动分析示意图如图2.2所示
y ?2 m2 m3 ?m1 1 F M x x 图2.2 二级倒立摆的运动示意图
本论文采用的是固高科技研发的倒立摆控制系统，其中： F：作用在系统上的外力；
?1：摆杆1 与垂直向上方向的夹角； ?2：摆杆2 与垂直向上方向的夹角。 首先，计算系统的动能：
T?TM?Tm1?Tm2?Tm3 TM小车动能：
TM?12Mx2 Tm1摆杆1动能：
Tm1?Tm?1?Tm??1 式中，T'm1——摆杆1质心平动动能； T''m1——摆杆1绕质心转动动能。
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221??d(x?l1sin?1)??d(l1cos?1)??112T?m1????mx?mlx?cos??m1l12?12 (2.6) ????11111'm12???dt??dt???22
T''2J21?1?212m1?1p?1???22??3m21l1???1?6m1l1?1 则
T'''1m1?Tm1?Tm1?2m1x?2?m1l1x???1cos?1?23m1l21??21 Tm2摆杆2动能：
Tm2?Tm?2?Tm??2 式中，T'm2——摆杆2质心平动动能； T''m2——摆杆2绕质心转动动能。 1?d(x?222T'l1sin?1?l2sin?2?1?d(2l1cos?1?l2cos?2)?m2?2m2??dt???2m2??dt??
?12m2?x?2l1?1cos?1?l2?2cos?2?2?12m?2lsin?221?11?l2?2sin?2?
T''121?12?21m2?2J?22?2??3m2l2???2?6m2l2??222 T?T'T''1m2m2?m2?2m2?x2?2x?2l1?1cos?1?l2?2cos?2??
?12m??2??43l22?4l21?12??22?4l1l2??1??2cos??2??1???? Tm3质量块动能：
T1??d(x?2l221sin?1)??d(2l1cos?1)??m3?2m3?????dt?????dt???? ? ?12m3x2?2m3l1x?1cos?1?2m23l1?21 因此，可以得到系统动能：
T?TM?Tm1?Tm2?Tm3
?1Mx2?1m2?m22221x1l1x?1cos?1?3m1l21?1 ?12m2?x?2?2x??2l1??1cos?1?l2??2cos?2?? ?1??22m22??4l1?1?43l22??22?4l1l2??1??2cos??2??1????
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