中国地质大学（北京） 期末考试论文专用 课程名称：岩石矿物研究方法 班号：10011113 学号：1001111306 姓名: 李江涛 成绩：
中国地质大学（北京）
课程期末考试
论文（读书报告）
课程名称：<<岩石矿物研究方法>> 任课教师：刘翠 许虹 张招崇 学 时：34学时
开课院系：地球科学与资源学院 学 号：1001111306 姓 名：李江涛 开课时间：2014.04-2014.06
任课教师： 日期： 年 月 日
中国地质大学（北京） 期末考试论文专用 课程名称：岩石矿物研究方法 班号：10011113 学号：1001111306 姓名: 李江涛 成绩：
分形维数计算方法的研究
一、研究现状
在经典的欧几里德几何中, 可以用直线、圆、球等这一类规则的形状去描述诸如墙、车轮、卫星等人造物体, 因为这些物体本来就是根据欧氏几何的规则图形生成的。然而自然界中, 却存在着许许多多极其复杂的形状, 如: 山不是锥体, 云不是球体, 闪电不是折线, 雪花边缘也不是圆等等, 再如宇宙中点点繁星所构成的集合更非经典几何所能描述的, 它们不再具有人们早已熟知的数学分析中的连续、光滑(可导)这一基本性质了, 而是非线性的。
为了描述这些问题, 哈佛大学数学系教授(BenoitB.Mandelbort)曼德布罗特在1975年首次提出分形(Fractal)概念。1982 年 Mandelbrot 著作《The FractalGeometry of Nature》的出版, 标志着分形理论的产生。分形理论的建立为研究无序结构和探索复杂事物提供了一极有力的工具。分形理论与耗散结构理论、协同学、混沌理论都是同一时期在非线性科学研究中取得的重要成果。所谓分形就是事物组成部分以某种方式与整体相似的形, 其整体具有自相似性。分形研究的对象是具有自相似性的无序系统, 其维数的变化是连续的, 而非欧氏几何中的整数维, 如空间的欧氏维数是3。(琚正挺,2006）
从Mandelbrot在《英国的海岸线有多长》一文中提出分数维概念以后,分形几何学逐渐发展成为专门研究复杂、非规则现象的新理论,并已被证实在研究过去常被认为的无规律体,如地质体的内在规律方面行之有效,分形能够对自然世界和表面的复杂性作出更精确的表达。 二、研究内容
分形具有自相似性和无标度性。
（1）自相似性：一个分形的某种结构或过程从不同的空间或时间尺度来看都是自相似的。事实上,在标度区内具有对称性,即表征自相似系统或结构的定量性质,如分维数,并不会因为放大或缩小等而变化,所改变的只是系统的外部形式,即系统的部分和整体之间存在自相似性。虽然这种定义不完备,但抓住了分形的本质特征——自相似性。
通常所说的自相似可以分为两类:一类是完全相似,由数学模型生成,如图1所示科赫曲线的构造:设E0为一单位线段,将其三等分,中间的1/3
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用边长为1/3的等边三角形向上指的另两条边代替,得到的集记为E1,它包含四条线段。对E1的每条线段重复这一过程得到E2。归纳得到Ek和Ek+1。当k充分大时,Ek+1与Ek只在精细的细节上不同。当k??时,极限曲线称为科契曲线,被人们用来做典型的海岸线模型,它可以刻画出真实海岸线的复杂性和粗糙程度。又如谢尔宾斯基垫的构造,数学过程简单描述为:在每步构造中都将前次的正三角形等分成4个小正三角形并去掉中间的一个,这一构造过程的极限图形是一曲线,称为谢尔宾斯基垫,如图2所示。另外一类就是自然界中的分形,如蜿蜒曲折的海岸线、云彩的形状等,其相似性并不是严格的,只是在一定的标度内才具有自相似性,它们具有统计意义下的自相似性,通常称为随机分形或无规则分形。因这种随机分形有比较复杂的表现形式,所以将其局部放大一定倍数不一定会简单地和整体完全重合。
图1 Koch曲线 （李伯奎等,2004） 图2 谢尔宾斯基垫片（李伯奎等,2004）
（2）无标度性：在具有分形性质的物体上任选一局部区域,由于其自身具有自相似性,对它进行放大后,得到的放大图形会显示出原图的形态特性,即它的形态、内在的复杂程度、不规则形等各种特性,与原图相比均不会发生变化,如上面讨论的科契曲线的性质,这种特性称为无标度性,又称为伸缩对称性。(李伯奎等,2004)
分形维作为分形的标准量度，必然有它作为标准的经典模型维数——自相似维数(Sel-f similar Dimension),豪斯道夫维数(Hausdorff
Dimension)，盒计数维数(Box-counting Dimension)，功率谱维数(Power spectrum Dimension)，结构函数法维数(Structure function Dimen-sion)。
1）自相似维数(Sel-f similar Dimension)
自相似维数的引入受到规则形体如线段、正方形、立方体的启发。如果把线段、正方形和立方体的边分成两等份,这时线段是原来一半长度的两个线段,正方形被分成四个全等的小正方形,立方体则被分成八个全等的小立方体。也就是说,线段、正方形和立方体可被看成是由2、4、8个与整
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体相似的图形组成。2、4、8个这些数字可以改写成21、22、23,这里出现的指数分别与图形的欧氏维数与拓扑维数一致。一般地,若把某个图形的长度(或标度)缩小1/r时得到N个和原图形相似的图形,有N=r-D,这里的指数D就具有维数的意义,称为自相似维数,用数学语言描述如下：
如果一个集F由m个相等的且与F相似的部分组成,则称F为自相似集。若部分与F的相似比为r,则定义自相似维数为:
D=-log m/log r
自相似维数只对严格自相似的均匀一致的线性分形集有意义,为了刻画更广泛的集类,需要引入更一般的维数Hausdorff维数。
2）豪斯道夫维数(Hausdorff Dimension)
其计算的基本原理为:分形集都遵循一定的标度律000,即测度M(δ)随测量尺度δ按照一种幂指数规律而变化,即
M(δ)正比δk
将M(δ)和δ在双对数坐标中作图,并进行最小二乘拟合得一直线,其斜率K与分形维数D之间有如下关系:
D=f(K)
采用不同的测度,对应的函数也不同,在后面将分别进行说明。 3）盒计数维数(Box-counting Dimension) 对于分形集F,N(δ)是覆盖F的直径至多为δ 的集的个数,N(δ)和δ之间有幂律关系:
N(δ)正比δk
在双对数坐标中拟合的log N(δ)-log δ直线的斜率K与分形维数D的关系为
D= 1-K
盒维数是最简单也最明了的分形维数。在不同的标度下,用盒计数法来分析
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实际分形集的方法适用范围广,无论分形集是不连通的点集,还是曲线、曲面或立体都可用这一方法,除了自仿射分形。
4）功率谱维数(Power spectrum Dimension)
分形曲线若以功率谱P(ω)为测度,以频率ω为尺度,则有
P（ω)正比ωk
那么,所拟合的log P(ω)-log ω直线的斜率K与D的关系为 D=(5+K)/2
功率谱法适合于自仿射分形曲线,但在用于工程表面轮廓曲线的分维计算时,其幂律关系不很明显,误差较大,使用场合受到很大的限制。
5）结构函数法维数(Structure function Dimen-sion)
自相关函数(ACF)已经成为描述空间变量的最流行的方法。它毫无疑问地包含了有用的空间信息,然而当我们用ACF来研究已知形貌在磨损、变形或者某些类似过程中的变化时,许多变化由于集合平均而被掩盖着。如图3表示某一表面在磨损前后的轮廓形貌。图4表示该表面未磨损轮廓和已磨损轮廓的自相关函数曲线,图中磨损几乎在整波长上出现,因而在自相关函数图中二者变化甚微是显然的。
图3 磨损前后的表面形貌比较（李伯奎等,2004）
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