中国地质大学（北京） 期末考试论文专用 课程名称：岩石矿物研究方法 班号：10011113 学号：1001111306 姓名: 李江涛 成绩：
另外当从轮廓扩展到表面时,尤其是要求三维描述各向异性结构时,自相关函数(ACF)也会出现问题了。标准化的自相关函数必须利用轮廓方差,但是对各个角度上的轮廓来说轮廓方差是不同的,而且在自协方差函数上出现奇异点。如果用表面方差标准化ACF,那么在坐标原点会有奇异点,只有在相对于同一个中位面测量各轮廓时才会消除。以结构函数或者方差函数(SF)的方式来描述时就会消除这些问题,Sayles和Thomas( 1977)对于轮廓结构函数定义为
S(t)?E[Z(x?t)?Z(x)]??S(w)(ejwt?1)dw?Ct??2??(4?2D)
这个函数是描述任意空间距离S上高度差均方的期望值。对平稳结构来说它含有与ACF相同的信息,该函数的两个主要优点是:它的意义不局限于平稳的情况,其次它不依赖于中位面。因此与中线有关的任何轮廓结构函数SF是表面结构函数SF的一个部分,这一性质ACF是不具备的。图5表示图3中的磨损和未磨损轮廓的结构函数SF曲线,从图中可以清晰地看到磨损和未磨损表面变化明显,表明了这种描述方法优于图4的自相关函数ACF方法。同时,拟合的log S(ι)-log ι直线,其斜率K与D有关系为 D=(4-K)/2
很多的研究表明,对于自仿射轮廓曲线,最具有意义的量就是结构函数,因此结构函数法特别适用于具有统计自仿射分形特征的工程表面轮廓曲线的分形维数计算,而机加工表面大多都具有自仿射分形的特征。（李伯奎等,2004）
图4磨损(I)和未磨损(II)轮廓的自相关函数（李伯奎等,2004）
任课教师： 日期： 年 月 日
中国地质大学（北京） 期末考试论文专用 课程名称：岩石矿物研究方法 班号：10011113 学号：1001111306 姓名: 李江涛 成绩：
图5 磨损和未磨损轮廓的结构函数（李伯奎等,2004）
三、研究方法
理论只有与实践联系在一起才具有真实的意义,则在观察自然界中的具有统计自相似性的景象时,我们需要一些方法去计算它们的分数维,经过许多科学家研究与努力,大致总结出了以下的几种方法:
1）量规法
量规法的思路是使用不同长度的尺子去度量同一段曲线（以海岸线为例,海岸线的长度L(r)由尺子长度r和尺子测量的次数N(r)来决定: L(r) = N(r)×r
当海岸线的弯曲程度、复杂程度不同,且尺子长度r也出现变化,那么被测海岸线的长度也必然出现相应的变化,尺子长度越小,则所测得的海岸线长度值越接近被测海岸线长度的真实值。然而，随着尺子尺度的缩小，海岸线边上的各种小岛屿也就被纳入了测量的范围，所以,分形理论告诉人们,与传统的认知不一样的是,海岸线的长度更确切地来说是一个变量,它并不
任课教师： 日期： 年 月 日
中国地质大学（北京） 期末考试论文专用 课程名称：岩石矿物研究方法 班号：10011113 学号：1001111306 姓名: 李江涛 成绩：
是描绘海岸线的一个完好的量度,而必须找到一个表征海岸线性质的客观量度,这就是分维数。
根据Mandelbrot的研究,有下式成立:
L(r) = M×r1-D
式中,L(r)为被测海岸线的长度;r为标度;M为待定常数;D为被测海岸线的分维数。
对式(2)两边同取双对数,可得:
Lg L(r) = (1-D)lg r+C
式中,C为待定常数;该式斜率值等于1-D,即分维数D=1-K(该式的斜率值)。（朱晓华，2002）
2）盒维数法
将曲线用一边长等于1的方盒子覆盖,将此方盒分割成含有2n个小方盒的网格集,小方盒的边长为2-n,用这个网格集覆曲线,统计出与相交的小盒子数量M(n),则曲线的分形维数为(王东升等,1995)
logM(n) nlog2 D?limn??3）含量面积法
如果把地球化学元素的数据记为xi, yi , zi , 其中xi , yi 代表地理位
任课教师： 日期： 年 月 日
中国地质大学（北京） 期末考试论文专用 课程名称：岩石矿物研究方法 班号：10011113 学号：1001111306 姓名: 李江涛 成绩：
置, zi 代表元素含量, 则xi , yi , zi构成的曲面称为含量曲面. 先将含量曲面的投影平面用矩形网络分割为边长为δx×δy的矩形, 第k 个矩形记为a b c d , 这4 个点的投影高度为hak , hbk , hck , hdk ( 即4个点处元素的含量) , 选取含量尺度r , 当hak ,hbk , hck , hdk均大于或等于r 时, 计算该投影网格对应的小曲面面积, 近似面积公式为
1222Sk?r????x2?(hak?hdk)2??y2??hdk?hck???x2??hbk?hck???y2??hak?hbk?? ???2?则整个投影网络对应在曲面上的覆盖总面积可近似为
S(r)??S?r?
kk?1N式中,N是小矩形数目。当取不同的r值,将得到不同的S（r）。 为了求出分维数D, 将观测数据S( r1) , S(r 2)，，，S ( rn ) 和r1, r2, ,, rn 绘在双对数坐标图上, 用最小
二乘法进行分段拟合, 求出斜率D 的估计量, 即为分维数。（陈聆等，2004）
为使含量-面积分形法所计算的结果更加精确,在估计的拐点两侧可适当加密分类的面积数。
4）三角棱柱表面积法
三角棱柱表面积法是通过比较在采用不同尺度观测图像“表面”时表
任课教师： 日期： 年 月 日
中国地质大学（北京） 期末考试论文专用 课程名称：岩石矿物研究方法 班号：10011113 学号：1001111306 姓名: 李江涛 成绩：
面积的大小的变化情况来计算曲面的分形维数的一种方法。
此方法利用栅格的4个角点(A、B、C、D )像素值来计算, 而中心点的像素值为这4 个角点像素平均值。中心点将栅格正方形分成4个三角形,分别计算这4个三角形的面积,4个三角形的面积之和即为栅格的表面积(图6)。改变栅格尺寸, 重复上述计算, 从而得到图像表面积与栅格尺度之间的关系, 即可计算出图像的分维。（陈文凯等，2010）
图6 三角棱柱表面积法示意图（陈文凯等，2010） 5)结构函数法
将表面轮廓曲线视为一个时间序列z(x),则具有分形特征的时间序列能使其采样数据的结构函数满足
E?Z?x????Z?x??2?C?4?2D(1 任课教师： 日期： 年 月 日