新课程高中数学课堂教学中的案例（一）
22----—再谈基本不等式a?b?a?b?ab?2ab的创新表示法
22石河子第一中学 朱友忠
a?ba?b22案例：基本不等式a?b?a?b?ab?2ab的创新表示法
22《北师版·必修5》【不等式习题课】§3·4 P95 B组第1题略有改动 题目：在⊙O上半圆中已知AC=a,CB=b,(a≥b),CD⊥AB,EO⊥AB,连接OD，作CF⊥OD如图所示：请用a,b分别表示线段CE,OE,CD,DF的长度，指出它们之间的大小关系，并证明；
一、归纳课本中的表示法 解：∵AC=a,CB=b, ∴OC=a?b,CG=OE=a?b
2222在Rt△EOC中，有CE2=OC2+OE2=(a?b)2+(a?b)2=a?b
222A OE=OD=a?b(同圆的半径相等)，CD=ab
22(ab)22ab2CD在Rt△ODC中，有CD=DF·OD; ∴DF=== ODa?ba?b222整理：CE=a?b，OE=a?b, CD=ab, DF=2ab
2a?b2E
D F O
C B
通过图中的Rr△的斜边与直角边的关系，显然可以得出：CE≥OE≥CD≥DF成立；
22a?b?a?b?ab?2ab， 当且仅当a=b时，取“=”成立。主要是建立集合图形证明。 即：
22a?b22《北师版·选修2-2》(P12习题1-2中第1题中)再次出现“a?b?a?b?ab?2ab”的证明。
22a?b二、创新课本中的表示法
上课时提问：“a?b”在全面所学的知识中与那个式子类同？
2学生甲说：在学习等差数列中，与等差中项的公式类同； 学生乙说：在学习求A、B两点的中点坐标公式类同；
学生丙说：在学习函数知识时,当某个函数的图象满足f(x+a)=f(b-x)时，则函数图象的对称轴x0=a?b的表达式类同；
2学生丁说：在初中学习平面几何时，与梯形的中位线式子类同。
通过几分钟的提问与启发，老师与学生，学生与学生之间进行了互动和回忆；同学们竟然能回想起这么多的类同，说明“a?b”这个式子在数学知识里也是非常重要的一个表达式；而且在大学的数
2学课本中还有与上述类同式子的应用。
22同学们，今天我们就学生丁同学所说，利用梯形中四条线段的长度来表示：“a?b” ，“a?b”
22D a C “ab”，“2ab” 是成立的；则它们分别代表哪四条线段呢？
a?b设梯形的下底AB= b，上底CD= a，如图(1),于是就有： (1).梯形的“中位线”EF=a?b,显然成立；
2E A F
D 图(1)
A
a C H
b B
G 证明很简单略 在初中的平面几何中已经证明。
(2).在梯形中，作GH∥AB与两腰相交于G、H；如图(2), 使得梯形
GHABABHG与梯形GHCD相似，则DC?GH,即GH=ab显然成立；称GH为“相似线”
b 图(2)
B
(3).在梯形中，过梯形两对角线的交点O作PQ∥AB与两腰相交于 P、Q；如图(3),设PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有△DPO∽△DAB,
则PO?DO，即x?m，∴x=mb ①
ABDBbm?nm?nD P A a C O Q B
△BOQ∽△BDC,有
OQBOy，即?n，∴y=na ② ?m?nDCBDam?n由①，②可得，PQ=x+y=mb+na=mb?na 即PQ=mb?na ③
m?nm?nm?nm?n在梯形中，△ODC∽△OBA,有DC?DO,即a?m ④
ABOBbnb 图(3)
D M a C h1
K N
将④代入③中消去m得: PQ=2ab,称PQ为“调和线” na?b（a?x)h1(x?b)h2?ABNM与梯形MNCD的面积相等，设MN=x, 则有， 22h1x?b? ⑤，在梯形中，△CKN∽△NSB,有h1?KN,即h1?x?a ⑥ Ph2a?xh2SBh2b?xG E 22h1x?bx?aM a?b由⑤，⑥可得?=，即MN=x=; 称MN为“面积线”
h2
(4). 在梯形中，作MN∥AB与两腰相交于M、N；如图(4), 使得梯形 A
D b S B
图(4)
a C Q
H
F N
h2a?xb?x2归纳上述梯形的四条线段如图(5)可知，显然有：MN≥EF≥GH≥PQ
A 22即：a?b?a?b?ab?2ab 当且仅当a=b时，取“=”成立。
22a?bb 图(5)
B
此时的梯形就成为一个平行四边形。 三、构建函数单调性表示法
例如：函数f(x)=a?bx?1，可以证明该函在实数R上是增加的； ax?bxx?122于是就有：f(1)= a?b，f(0)= a?b，f(-1)=ab，f(-1)= 2ab
a?b22a?b22f(1)≥f(0)≥f(-1)≥f(-1) 即，a?b≥a?b≥ab≥2ab 当且仅当a=b时，取“=”成立。
2a?b2a?b22其实，不等式a?b?a?b?ab?2ab的证明方法有很多，譬如：代数证法（比较法，综合
22a?b法，分析法）众所周知，就不必说明了；《北师版·必修5》课本上的几何证法还有好多，阅读资料中，
谈到2002年在北京召开的24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计
2222的，会标图案中就蕴含着a?b≥a?b≥a?b≥ab≥2ab的存在，值得参考与借鉴。实在是太
a?b22a?b完美了，真是令人叫绝；在此我断定此不等式的表示方法仅次于勾股定理的证明方法；这个基本不等式也可以说是一只生金蛋鸡，如何构造几何图形、如何构造函数，都有待于同仁们继续研究，发现其它的一些表示方法，挑战这样的工作可以启发人的思维能力，有着非常重要的意义。
新课程高中数学课堂教学中的案例（二）
----------对诱导公式中“α-π”的理解与应用
石河子第一中学 朱友忠
案例：“α-π”的理解
《北师版·必修4》P16 §4·3【三角函数《诱导公式》的新授课】诱导公式这节内容中出现了角“α-π”的诱导公式，那么怎样理解这个角“α-π”呢？
刚开始我接触角“α-π”总有些别扭，是因为在旧教材中用习惯了形如角“k???”k∈Z的三
2角函数诱导公式，在前面的旧教材中出现过，也没有直接把它纳入公式的范筹中；在新教材中解题时，常碰到形如：
sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα; cos(α-π)=cos[-(π-α)]=cos(π-α)=-cosα; tan(α-π)=tan[-(π-α)]=-tan(π-α)=tanα;
等等都象上述那样至少要通过两次诱导公式进行转化而得到；我就在想，既然《北师版·必修4》教材中直接把它纳入到公式的范畴中，说明它是可以直接到位的。 y 在备课时，借助单位圆，如图所示我就仔细研究起来，在单位圆
α +π 中分别作出角α、角α+π、角α-π通过观察它们之间的关系，发现 α H′O H x 角α+π与角α-π的终边相同，即(α+π)-(α-π)=2π;这就说明 α-π 这两个角的三角函数值是相等的。即诱导公式如下：
sin(α±π)=-sinα; cos(α±π)=-cosα; tan(α±π)=tanα 把角α看作“锐角”，则角α+π与角α-π的终边都落在第三象限；还可以理解：角α-π加上2π也就得到角α+π（或加上2kπ,k∈Z）的结果了。真是大快人心的事情。
“α-π”的应用
角α-π加上2π（或加上2kπ,k∈Z）的应用（对正弦、余弦等三角函数的化简或求值比较快） 如《北师版·必修4》P17·例2 求下列各角的三角函数值中的两道题是： 第(1)题：sin(-7?)=sin(-7?+2π)=sin?=2 (而课本上的解答用了4步)；
4442第(3)题：cos(-31?)=cos(-31?+6π)=cos5?=-3?(而课本上的解答用了4步)；
6662P19·例3 第(2)题：sin(-55?)加上10π即可化简；(而课本上的解答用了5步)；
6练习：判断下列各式函数值的符号, P20·A组中的第2题备选的题如：
①sin(-17?)加上4π即可化简；②cos(-23?)加上6π即可化简；③cos(-59?)加上4π即可化简；
5417P20·练习2中的第(3)题:已知sin(π+α)=1, 求sin(-3π+α)的值；
3只要在所求的式子的角度中加上4π即可求得结果。
P20·练习2中的第(4)题:化简①1+sin(α-2π)sin(α+π)-2cos2(?+α);
2在sin(α-2π) 的角度中加上2π即可化简。 P20·A组题中的第8题化简（2）小题：
sin(???)sin(3???)?sin(????)sin(??2?)sin(???)sin(3????2?)?sin(?????2?)sin(??2??2?)=
sin(4???)sin(5???)sin(4????4?)sin(5????4?)=
sin(???)sin(???)?sin(???)sin(?) 略
sin(??)sin(???)角α-π加上π（或加上kπ,k∈Z）的应用（对正切、余切等三角函数的化简或求值比较快） P39练习中第4题不求值比较两个正切函数值的大小：
00
（1）tan138与tan143
解：前、后两个式子分别减去1800都可以起到简化的作用； （2）tan(-13?)与tan(-17?)
45解：前面的式子加上4π、后面的式子加上3π就可以起到简化的作用；
P40 A组第10题求值：1?tan2(?37?)?2tan(?43?)只要在前面的式子加上6π、后面的式子加上
667π就可以起到简化的作用；
练习：求下列各式函数值P40 A组备选题
0
①tan2400 减去1800 ②tan(-15740) 加上9·180
00
③tan6750+tan7650+tan(-690)+tan1080
小结：通过上述的实例对教材的研究和书本上的练习题的证实，很快化到最简，的确起到事半功倍之效；也就是说，对于绝对值较大角的正、余弦函数值一般加上2kπ(k∈Z)；对于绝对值较大角的正、余切函数值一般加上kπ(k∈Z)；上述事实只是我个人的看法，如果同仁们还有更好的见解也能展示出来与大家共同分享，是一件非常好得事，我也感到非常欣慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，才能真正落实三维目标在授课中得到体现。
新课程高中数学课堂教学中的案例（三）
----------对一道例题的分析理解与拓展
石河子第一中学 朱友忠
案例：一道例题的分析理解与拓展
《北师版·必修4》P117 §3·2 【二倍角的三角函数新授课】 教材中的例4 题目：要把半径为R的半圆形的木料截成长方形如图（1）所示，应怎样截取， 才能使长方形面积最大？ B C 分析：要求最值←必需建立函数←必需先确定自变量； 问题：面积的变化是由哪个长度发生变化而变化的呢？ α A D O 方案一、因为A点在运动，说明OA的长度也在发生变化，此时
图（1）
可设OA=x，连接OB=R，则AB=R2?x2，所以面积S=2xR2?x2（0 解得：S=2xR2?x2=2x2(R2?x2)=2?(x2?R)2?R（也可以用均值定理解决） 224当x2=R,即x=R时，所以面积Smax=R2; 22方案二、因为B点在运动，说明∠BOA的大小在发生变化而变化. ，此时可设∠BOA=α，OB=R, 则AB=Rsinα,OA=Rcosα,所以面积S=2OA·AB=2 Rcosα·Rsinα=R2sin2α; 当sin2α=1,即α=450时，所以面积Smax=R2; 小结反思： 1、代数法：以线段长为自变量，建立函数关系式，用代数方法求函数最值。 2、三角法：选择角度为自变量，建立函数关系式，用三角知识求函数最值；（适用于与旋转有关 的问题）。 拓展一、《北师版·必修4》P127 B组第5题、题目：把一段半径为R的圆木如图（2）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样锯法才能使截面的面积最大？ E 分析一、代数法：设AB=x，x∈(0,2R),则BC=4R2?x2； ·O α 0 分析二、三角法：设∠CAB=α,α∈(0,90),则AB=2Rcosα,BC=2Rsinα D A 分析三、几何法：作DE⊥AC,则S=AC·DE=2R·DE; 2 要使DE最大，即AB=BC时，面积Smax=2R 图（2） 拓展二、一段半径为R,圆心角为900的扇形木料如图（3）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问怎样据法才能使截面的面积最大？ C C D E 若按如图（4）的锯法： D F B 方法1、代数法：略 α O 方法2、三角法：略 A A B C B 方法3、几何法：利用对称性还原成圆木料。求得Smax=1R2 20 图（3） 图（4） 图（5） 若按如图（5）的锯法：设∠AOB=α,α∈(0,45) 000 采用三角法解：设∠AOB=α,α∈(0,45),则BE=Rsin(45-α),OE= Rcos(45-α),由图（5）可知， 00 OF=BE=AF,所以AB=FE=OE-OF=R[cos(45-α)-sin(45-α)] 2000 面积S=2BE·AB=2Rsin(45-α)[cos(45-α)-sin(45-α)] 00 =R2[sin(90-2α)-1+cos(90-2α)] 0 =R2[2sin(2α+45)-1] 当α=?时，面积Smax=(2-1)R2 8比较如图（4）的锯法与如图（5）的锯法，显然1R2>(2-1)R2 2所以要采用如图（4）的锯法面积最大。 拓展三、一段半径为R,圆心角为1200的扇形木料如图（6）所示，锯成横截面为矩形的木料，试问 C 怎样锯法才能使截面的面积最大？ E C D 若按如图（7）的据法： B D F 方法1、代数法：略 1200 α α 方法2、三角法：略 O A B 图（6） 12图（7） 方法3、几何法：利用几何特性还原成圆木料。求得Smax=R 2A 图（8） 若按如图（8）的锯法：设∠AOB=α,α∈(0,60) 000 采用三角法解：设∠AOB=α,α∈(0,60),则BE=Rsin(60-α),OE= Rcos(60-α),由图（8）可知， 0 OF=3FA=3BE=3Rsin(60-α), 0 33300 所以AB=FE=OE-OF=R[cos(60-α)-3sin(60-α)] 300 =23R[3cos(60-α)-1 sin(60-α)] 3322 =23Rsinα 20 面积S=2BE·AB=43Rsin(60-α)sinα]= 23R2[3cosαsinα-sin2α] 33 =23R2[3sin2α-1?cos2?]=23R2[sin(2α+300)-1] 32232当2α+300=900时，即α=300，面积Smax=3R2 3比较如图（7）的锯法与如图（8）的锯法，显然3R2>1R2 32所以要采用如图（8）的据法面积最大。