由上述推理计算过程，让我大胆猜测对半径R的扇形图，当扇形角在（00～1800]的范围内，两种截得的矩形面积下列图表成立：
两种裁剪方法对照表： 第一种裁剪法 ?? 300 最大面积S1 S1=? S1=? S1=3R2 6比较S1与S2的大小 S1>S2 S1>S2 最大面积S2 S2=? S2=? S2=(2-32)R S2=(2-1)R2 S2=? S2=1R2 2第二种裁剪法 ?? 300 600 600 S1>S2 S1=1R2 2 S1>S2 ?? 某个角α∈(00～1800] ?? S1=1R2 222S1>S2 S1=S2 S1 拓展四、将如图（3）的木料锯成如图（9）的形状，怎样锯才能使 四边形OABC的面积最大？ C 00 解：设∠AOB=α，α∈(0，90)，则BD=Rsinα,BE=Rcosα, E 所以SOABC=S△OAB+S△OCB=1R·Rsinα+1R·Rcosα 2222 =1R(sinα+cosα)=2Rsin(α+450) 222 当α+450=900，即α=450时，SOABC有最大值为2R 2O α B D A 图（9） 通过教材中的一道例题的理解与拓展，对三角知识加深了理解和应用，正是新课标的要求，使学生掌握基本知识与技能，体会学习的过程，同时领会数学思想方法，不仅增强了学生对数学学习的兴趣，而且树立了学生对数学学习有了良好的情感态度和价值观。 新课程高中数学课堂教学中的案例（四） ——-几种特殊的抽象函数在某点处的导数探究 石河子第一中学 朱友忠 案例：几种特殊的抽象函数在某点处的导数的求法 由于新课程标准对《导数》这一章内容概念的理解加大了力度，在一些课外参考书中也很少提到抽象函数在某点处的导数的求法；本文主要通过导数的定义研究抽象函数在某点处的导数的求法；进一步帮助同学们加深理解导数定义。下面以4种常见类型的抽象函数为例： 一、形如f(x+y)=f(x)+f(y)类型 例1、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f′(0)=2,求当x=a时，f′(a)的导数. 解：令x=0代入f(x+y)=f(x)+f(y)中，得f(0)=0 由导数的定义，f′(a)=?limx?0f(a??x)?f(a)f(a)?f(?x)?f(a)f(?x)f(0??x)?0=?== limlimlimx?0?x?0?x?0?x?x?x?xf(0??x)?f(0)lim=?=f′(0)=2 x?0?x所以，f′(a)=f′(0)=2 练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f′(0)=0,求当x=e时，f′(e)的导数.(答：2e) 二、形如f(x+y)=f(x)·f(y)类型 例2、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f′(0)=1,f(1)=e,求当x=2时，f′(2)的导数. 解：令x=0,代入f(x+y)=f(x)·f(y)中，得f(0)=1；再令x=y=1代入f(x+y)=f(x)·f(y)中，得f(2)=e2 由导数的定义，f′(2)=?limx?0f(2??x)?f(2)f(2)f(?x)?f(2)f(?x)?1f(0??x)?f(0)=?=f(2)?=? limlimlimx?0x?0x?0?x?x?x?xf(0??x)?f(0)2lim=f(2)?= f(2)·f′(0)=e x?0?x所以，f′(2)= e2 练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y)-xy,且f(x)>0, f(1)=2 f′(0)=1,求当x=2时，f′(2)的导数.(答：4) 三、形如f(x·y)=f(x)+f(y)类型 例3、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x·y)=f(x)+f(y),且f′(1)=1,求当x=2时，f′(2)的导数. 解：令x=y=1代入f(x·y)=f(x)+f(y)中，得f(1)=0 f(2)?f(1??x)?f(2)f[2(1??x)]?f(2)f(2??x)?f(2)22limlim由导数的定义，f′(2)=?= ?=? limx?0x?0x?0?x?x?xf(1??x)?0f(1??x)?f(1)f(1??x)f(1??x)?f(1)222=lim2limlim=?=?=1? limx?0?x?0x?0x?02?x?x?x?x2=1f′(1)=1 22所以，f′(2)=1 2练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x)=f(x)-f(y),且f′(1)=1,求当x=e ln2y时，f′(e)的导数.(答：1) eln2四、形如f(x·y)=f(x)·f(y)类型 例4、已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x·y)=f(x)·f(y),且f(2)=4，f′(1)=2,求当x=2时，f′(2)的导数. 解：令x=1代入f(x·y)=f(x)·f(y)中，得f(1)=1， f(2)f(1??x)?f(2)f[2(1??x)]?f(2)f(2??x)?f(2)22由导数的定义，f′(2)=?=?=? limlimlimx?0x?0x?0?x?x?xf(1??x)?1f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)222lim=f(2)?=f(2)?=1f(2)? limlimx?0x?0x?02?x?x?x2=1f(2)f′(1)=4 2所以，f′(2)=4 练习：已知函数y=f(x)在定义域D内是可导函数，满足f(x·y)=2f(x)·f(y),且f(2)=2,f′(1)=1,求当x=2时，f′(2)的导数.(答：2) 五、归纳小结 通过常见的几种特殊的抽象函数类型，分别利用导数的定义研究了抽象函数在某点处的导数求法；在这里主要强调了导数的定义的求解方法；以上的求解方法都不是唯一的，比如说，每种类型的特殊函数是可以根据题意选定特殊的函数来替代，写出y=f(x)的解析式，再去求某点处的导数，方法也简单，同仁们不妨试试看，研究一下，绽放你的思维火花；抽象函数的形式有很多，值得大家去研究，是一件非常好的事，我也感到非常欣慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，让成功的喜悦和大家一起分享。