《信号与系统》课程研究性学习手册
信号的频域分析专题研讨
【目的】
(1) 建立工程应用中有效带宽的概念，了解有限次谐波合成信号及吉伯斯现象。
(2) 掌握带限信号，带通信号、未知信号等不同特性的连续时间信号的抽样，以及抽样过程中的参数选择与确定。认识混叠误差，以及减小混叠误差的措施。
(3) 加深对信号频域分析基本原理和方法的理解。
(4) 锻炼学生综合利用所学理论和技术，分析与解决实际问题的能力。 【研讨内容】——基础题 题目1：吉伯斯现象 (1)以(C02?2?n?1Cn)/P?0.90定义信号的有效带宽，试确定下图所示信号的有效带宽N?0，
N2取A=1，T=2。
(2)画出有效带宽内有限项谐波合成的近似波形，并对结果加以讨论和比较。 (3)增加谐波的项数，观察其合成的近似波形，并对结果加以讨论和比较。
x(t)A/2tAx(t)?T0?T0/2?A/2T0/2T0?T0T0/2T0t(a) 周期矩形信号 (b) 周期三角波信号
【知识点】
连续周期信号的频域分析，有效带宽，吉伯斯现象
【信号频谱及有效带宽计算】
（a） 周期矩形信号
利用连续Fourier级数的时移特性，以及基本周期矩形脉冲信号的频谱可知该信号的频谱Cn为
?n???Cn?Sa(??e2??n=1,2,3.
jn?2?n??????n? 取模为Cn?Sa(??e2??jn?2
Cn|=0.5| Sa(0.5*n*pi)| |C0|=0; |C1|=1/pi |C2|=0； |C3|=1/3*pi;
P=（1*0.5*0.5+1*0.5*0.5）/2=0.25
C0^2+2*C1^2+2*C2^2+2*C3^2=0.243>0.225=0.9*P 所以N=3；
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又因为该信号是奇对称的半波镜像信号，所以没有直流分量，且只有正弦分量的奇次谐波。 且对于奇对称的实周期信号有an=0;bn=j*2Cn=Sa(0.5*n*pi)*sin(0.5*n*pi);
（b） 周期三角波信号
利用连续Fourier级数的时移特性，以及基本周期三角波信号的频谱可知该信号的频谱Cn为
jn?Cn??2jn??2(n?)2Sin(2)e
|C0|=0.5
|C1|=2/pi*pi=0.20
122??x?1?2dxP??xdx0?12?13 C0^2+2*C1^2=0.33>0.29=0.9*P 所以N=1；
又因为该信号为偶对称的实周期信号所以只有余弦分量 bn=0;an=sin(0.5*n*pi)*sin(0.5*n*pi)*(-2/(n*n*pi*pi);
【仿真程序】
（a） 周期矩形信号
%矩形波时域图及频谱图% t0=0:0.001:20; L=512; x0=1*sign(sin(pi*t0+0)); figure(1);plot(t0,x0); grid on; axis([0,5,-1.5,1.5]); title('时域波形');
ws=10*pi;t=0:1/ws:20; x=1*sign(sin(pi*t+0)); y=fft(x,L);Y=fftshift(y);
w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi); figure(2);plot(w, abs(Y)/L); grid on; title('幅频谱图N=512');
%----------------------------------------------------------- %矩形波基波合成% t=-20:0.001:20; N=input('N=');
c0=0;XN=c0*ones(1,length(t)); for n=1:2:N;
XN=XN+2*sin(pi*n*t)*sinc(0.5*n)*sin(0.5*n*pi); end
figure(3);plot(t,XN); grid on; axis([-2,2,-2.2,2.2]);
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（b）周期三角波信号
%三角波时域图及频谱图% Fs=10000;t0=0:1/Fs:10;L=512; x=0.5*sawtooth(pi*t0,0.5)+0.5; figure(1);plot(t0,x); grid on; axis([0,5,-0.5,1.5]);
title('三角波时域波形'); ws=pi;t=0:1/ws:2000;
x=0.5*sawtooth(pi*t,0.5)+0.5; y=fft(x,L);Y=fftshift(y);
w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi); figure(2);plot(w, abs(Y)/L); grid on; title('三角波频谱图N=512');
%----------------------------------------------------------- %三角波基波合成% t=-20:0.001:20; N=input('N='); c0=0.5;
XN=c0*ones(1,length(t)); for n=1:2:N;
XN=XN+2*cos(pi*n*t)*sin(0.5*n*pi)*sin(0.5*n*pi)*(-2/(n*n*pi*pi)); end
figure(3);plot(t,XN); grid on; axis([-2,2,0,1.2]); 【仿真结果】
（a） 周期矩形信号
3
有效带宽内N=3
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