【结果分析】
我们生成的信号的频率从1950Hz到2250Hz之间变化，按我们学过的低通信号的Nyquist抽样定理，此时采样频率fsc必须至少大于2250*2=4500Hz，才能保证信号失真较小。
但是，我们发现，当我们取采样频率为646Hz时，画出的抽样后声音信号频域波形，在形状上与原信号频域波形相差不大，这说明，我们我们可以从646Hz抽样后的信号中重构得到我们需要的原始信息中的大部分，并且失真较小。
这样，便验证了带通信号采样定理的正确性。
【自主学习内容】
? 连续信号的采样及重构
? 傅里叶快速算法fft的功能及使用方法 ? 带通信号采样定理
【阅读文献】
[1]林丽莉[等].信号处理与系统分析综合实验教程[M].杭州 : 浙江大学出版社, 2013
[2]梁虹[等].信号与线性系统分析: 基于 MATLAB 的方法与实现[M].北京 : 高等教育出版社, 2006
【发现问题】
若连续时间信号x(t)的最高频率未知，该如何确定对信号进行抽样的最大间隔？
一般通过查询资料，确定自己所处理类型的信号的最大频率fm，然后，让信号通过一个截止频率为fm的低通滤波器，再依据抽样定理进行抽样。
【问题探究】
带通信号抽样频率确定的理论分析。
带通抽样定理：一个频带限制在(fL,fH)内的时间连续信号x(t)，信号带宽B?fH?fL，令
M?fH/B?N，这里N为不大于fH/B的最大正整数。如果抽样频率fs满足条件
2fH2f?fs?L，0?m?N?1 （3.1-9） m?1m则可以由抽样序列无失真的重建原始信号x(t)。
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系统的频域分析专题研讨
【目的】
(1) 加深对系统频域分析基本原理和方法的理解。
(2) 加深对信号幅度调制与解调基本原理和方法的理解。
(3) 锻炼学生综合利用所学理论和技术，分析与解决工程实际问题的能力。 【研讨内容】
题目1．幅度调制和连续信号的Fourier变换
本题研究莫尔斯码的幅度调制与解调。本题中信号的形式为
x(t)?m1(t)cos(2πf1t)?m2(t)sin(2πf2t)?m3(t)sin(2πf1t)
1)
其中信号x(t)由文件ctftmod.mat定义，可用命令Load ctftmod 将文件ctftmod.mat定义的变量装入系统内存。运行命令Load ctftmod后，装入系统的变量有
af bf dash dot f1 f2 t x
其中
bf af： 定义了一个连续系统H(s)的分子多项式和分母多项式。可利用freqs(bf,af,w)求出该系统的频率响应，也可用sys=tf(bf,af)得到系统的模型，从而用lsim求出信号通过该系统的响应。 dash dot： 给出了莫尔斯码中的基本信号dash和dot的波形 f1 f2： 载波频率 t: 信号x(t)的抽样点
x: 信号x(t)的在抽样点上的值 信号x(t)含有一段简单的消息。Agend 007的最后一句话是
The future of technology lies in ···
还未说出最后一个字，Agend 007就昏倒了。你(Agend 008)目前的任务就是要破解Agend 007的最后一个字。该字的信息包含在信号x(t)中。信号x(t)具有式1)的形式。式中的调制频率分别由变量f1和f2给出，信号m1(t)，m2(t)和m3(t)对应于字母表中的单个字母，这个字母表已用国际莫尔斯码进行编码，如下表所示：
A ·? B ?··· C ?·?· D ?·· E · F ··?· G ? ?·
(1) 字母B可用莫尔斯码表示为b=[dash dot dot dot]，画出字母B莫尔斯码波形； (2) 用freqs(bf,af,w)画出系统的幅度响应；
(3) 利用lsim求出信号dash通过由sys=tf(bf,af)定义的系统响应，解释你所获得的结果； (4)用解析法推导出下列信号的Fourier变换
H ··· I ·· J ·????? K ?·? L ·?·· M ??? N ?· O ????? P ·??· Q ? ?·? R ·?· S ··· T ? U ··? V ···? W ·?? X ?··? Y ?·?? Z ??·· m(t)cos(2πf1t)cos(2πf2t) m(t)cos(2πf1t)sin(2πf2t)
21
m(t)sin(2πf1t)sin(2πf2t)
(5)利用(4)中的结果，设计个从x(t)中提取信号m1(t)的方案，画出m1(t)的波形并确定其所代表的字母； (6)对信号m2(t)和m3(t)重复(5)。请问Agent 008
The future of technology lies in ···
【题目分析】
我们先加载数据文件，将各变量的值读入。b为一个数组序列需要画出其波形直接用plot函数即可。第二题中freqs函数的引用本来就可以把函数的频率图画出来。第三题中要画出系统函数的响应，要知道系统函数的响应，我们要先知道dash函数的取值范围，以免出现错误。 第四题就从傅里叶变换的性质出发进行计算。第五题我们需要对信号进行解调，即频谱搬移，然后用一个低通滤波器对信号进行过滤最后保留下所需要的m(t)。通过一个一个对比字母所带表的图1,2,3信号所代表的字母。
我们首先对信号x(t)进行宏观的分析，仿真程序如下： %加载数据文件，对未知信号x(t)进行初步分析 clear;load ctftmod fs=length(x)/max(t);
n=(0:N-1)-N/2;t=(0:N-1)/fs;
subplot(211);plot(t,x);%画出时域波形 xlabel('t');ylabel('x(t)');grid on; title('x(t)的时域波形');
XA=abs(fftshift(fft(x,N)))/N; f=n*fs/N;
subplot(212);plot(f,XA);%画出频谱 xlabel('f');ylabel('X(jw)');grid on; title('x(t)的幅度频谱'); xlim([-800 800]) 仿真结果如下：
22
我们可以看到x(t)的频率集中在200Hz和400Hz附近，这正是数据文件中f1、f2对应的数值，即载波频率。
接下来，我们只需分析信号x(t)通过题目所给系统的响应，便可破解出最后的信息。 第（4）题分析如下：
H1(j?)??m(t)cos(2?f1t)cos(2?f2t)dt
??????
????m(t)[cos(f1?f2)2?t?cos(f1?f2)2?t]dt 21H1(j?)?{M[j(??(f1?f2)2?)]?M[j(??(f1?f2)2?)]?M[j(??(f1?f2)2?)]?M[j(??(f1?f2)2?)]}4
H2(j?)?1{M[j(??(f1?f2)2?)]?M[j(??(f1?f2)2?)]?M[j(??(f1?f2)2?)]?M[j(??(f1?f2)2?)]}4j
1H3(j?)?{M[j(??(f1?f2)2?)]?M[j(??(f1?f2)2?)]?M[j(??(f1?f2)2?)]?M[j(??(f1?f2)2?)]}4
【仿真程序】 （1）
%画出字母b的时域波形 clear;load ctftmod
fs=length(x)/max(t);%确定信号x(t)的取样频率 b=[dash dot dot dot]; N=length(b);n=0:N-1;t=n/fs; plot(t,b)
xlabel('t');ylabel('b(t)');grid on; title('b(t)的时域波形'); （2）
%画出题给系统的幅度响应和相位响应 load ctftmod
w=linspace(0,50*pi,100); H=freqs(bf,af,w);%系统函数 subplot(211);plot(w,abs(H));grid on; xlabel('\\omega');ylabel('|H(j\\omega)| ' ); title('系统的幅度响应');
subplot(212);plot(w,angle(H));grid on; xlabel('\\omega');ylabel('\\phi(\\omega)'); title('系统的相位响应');
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（3）
%画出dash(t)的时域波形及dash(t)通过系统后的响应 load ctftmod
sys=tf(bf,af);fs=length(x)/max(t);
N=length(dash);n=0:N-1;t=n/fs;%fs为上面确定的x(t)的取样频率 y=lsim(sys,dash,t);%求dash(t)通过系统后的响应 subplot(211);plot(t,dash);grid on;
xlabel('t');ylabel('dash(t)');title('dash(t)原始信号') subplot(212);plot(t,y);grid on;
xlabel('t');ylabel('ydash(t)');title('dash(t)通过系统后的响应') （5）
%解调出m1(t)后画出其原始波形 load ctftmod
sys=tf(bf,af);fs=length(x)/max(t);
N=length(x);n=0:N-1;t=n/fs;%fs为上面确定的x(t)的取样频率 m1=x.*cos(2*pi*f1*t); %解调出信号m1(t) m1o=lsim(sys,m1,t);%m1(t)通过系统 plot(t,m1o);grid on;
xlabel('t');ylabel('m1(t)');title('m1(t)时域波形') （6）
%解调出m2(t)、m3(t)后画出其原始波形 load ctftmod
sys=tf(bf,af);fs=length(x)/max(t);
N=length(x);n=0:N-1;t=n/fs;%fs为上面确定的x(t)的取样频率 m2=x.*sin(2*pi*f2*t); %解调出信号m2(t) m3=x.*sin(2*pi*f1*t); %解调出信号m3(t) m2o=lsim(sys,m2,t);%m2(t)通过系统 m3o=lsim(sys,m3,t);%m3(t)通过系统 subplot(211);plot(t,m2o);grid on;
xlabel('t');ylabel('m2(t)');title('m2(t)时域波形') subplot(212);plot(t,m3o);grid on;
xlabel('t');ylabel('m3(t)');title('m3(t)时域波形')
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