?A1?b1A1?b2A2?b3A3???x2?e （2-4） ?A1?c1A1?c2A2?c3A3???y2?e已知整个求解区域的三角形单元的总和为 E，那么能量泛函可以表示为求解区域内所有单元泛函之和。
22???1???Az???Az????W?Az???We?Az???????????AJ??zz?dxdy （2-5） ???2??x???y??e?1e?1????????单元 e 的能量泛函可表示为
EEWe?Az??J?1?b1A1?b2A2?b3A3?2??c1A1?c2A2?c3A3?2?Ze?A1?A2?A3?（2-6） 8??e3??求上式对三节点的一阶偏导
??We??e?eee??A1??K11??A1e??P1e?K12K13??We??e??e??e?eeeeeK23?e???K21K22??A2???P2???K???A???P? （2-7）
??A2??e?Pe?ee??e?AKKK3313233??We??????3???e???A3??其中 Kl,s?1?blbs?clcs?，l,s?1，2,3 4??ePl??eJ，l?1,2,3 3对e个单元进行总体合成，则有
??W????K?A?1??11e??W??K21??????A2?????W??Ke???N1???A3??式中：N 为节点总数。
根据泛函极值条件可知
K1N?e?A1??P1e??ee?e??e?K22?K2N??A2???P2???K???A???P? （2-8） ??????A3e??P3e?ee?????KN2?KNN?K12??K???A???P??0 （2-9）
即
5
?K???A???P? （2-10）
在SR电机中，铁心导磁材料的磁化曲线呈非线性，即式中μ不是常数，为磁感应强度的非线性函数，由（2-6）式可知，上式所示的代数方程组为一非线性方程组，系数[K] 是未知量矢量磁位{A}的非线性函数。
非线性方程组的求解一般归结为多次迭代求解同阶的线性代数方程组。常用的解法有欠松弛迭代法、最速下降法、牛顿-拉夫逊迭代法、共轭梯度法、波前法等。本文采用波前法求解非线性方程组，波前法仍然是高斯消元的一种形式，只是该方法中组装单元刚度矩阵与消元是同时进行的。在实际消元过程中，它不是等到所有单元全部组装进整体刚度矩阵后再消元，而是将与此节点相关的所有单元（即连接此节点的单元）组装进整体刚度矩阵就开始消元了，把已完成消元的结果写入文件，释放占用的内存，再存放其它数据，再进行消元，最后从文件中读出消元结果求节点位移。这种交替进行的方法，占用内存小，可以求解大规模问题，在求解电机内部电磁场时，它具有求解时间短、收敛性好的特点。
2.1.3 开关磁阻电机的解后处理
本文对开关磁阻电机的有限元分析仅仅求出磁势的分布是远远不够的，还要得到其它物理参数或工程参数，例如磁通密度、磁场储能、磁链、电磁力等。通常把这个从势函数到具体物理量的计算过程称为“有限元的解后处理”。
下面就本文所涉及的物理量介绍解后处理的方法。 1. 等势线图
为了直观地和定性地表达电机场分布，需要用图形来表示场分布的性质和状况，等势线图便是最为通用的一种。将求解区域中磁势值相同的点用线联结起来，便形成了等势线图。一般情况下，可以令相邻两条等势线的势差相同。这样等势线的疏密就表示了场磁通量密度的强弱，也就是说，等势线密集的地方其磁通量密度也强。 2. 磁通量密度
?磁场的强弱程度通常可用磁通量密度B来表示。有限元方法直接得到的数值解为矢量?磁势A在每个节点上的值，这些势函数在某个单元上的分布函数由该单元的几个节点上势
函数值的插值表示。而磁通量密度则由势函数的方向导数求得，即
???A??A?B???A?xe?ye （2-11）
?y?x3. 磁场储能
由于开关磁阻电机定、转子由硅钢片叠压而成，工作时都会进入不同程度的饱和状态，对于这种非线性材料，磁场储能密度（即单位体积的储能）由下式定义
Bwm??HdB （2-12）
0这说明磁场储能密度由材料的B/H特性和工作磁通密度来决定。整个电机的总磁场储
6
能Wm写成以上储能对体积的积分，对二维问题来说体积积分被简化为面积积分再乘以铁心长度l，即
BlElEWm???ewmd????e??HdB?d? （2-13）
??0?2e?1?2e?1??4. 磁通量
穿过每一个曲面S的磁通量φm（Wb）由磁通密度的曲面积分而得到，即
?????m???B?dS?????A?dS （2-14）
SS5. 磁链
开关磁阻电机磁化曲线族是电机重要的静态参数，因此需要了解磁链的概念。对于一个线圈来说，磁链为穿过每一匝线圈的磁通之和，即
????mi （2-15）
i?1N式中：N为线圈匝数；φm为穿过某一匝线圈的磁通。
7
3 基于 ANSYS软件的开关磁阻电机有限元分析实例
有限元数值计算技术发展至今，已经比较成熟，对于比较复杂的计算模型，利用人工编程方法对电机磁场进行剖分、求解、后处理工作量较大且计算精度较低，目前已有许多现成的应用软件（如，用于工作站上的三维有限元软件包Vector Field、NASTRAN、ASKA、ADINA 和用于PC机的ANSYS、ANSOFT等）一般都包括了网格自动剖分、前后处理、参数计算等功能，使用方便。所以应用这些软件对电机磁场计算分析是完全可行且有效的。
本文采用大型有限元分析软件ANSYS对磁场分布和变化比较复杂，非线性严重的 SRM样机进行分析计算，这样既保证了有限元分析的高精度，又大大降低了计算量。
3.1 ANSYS 软件介绍
ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发。 它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I－DEAS, AutoCAD等， 是现代产品设计中的高级CAE工具之一。
软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。
前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型；
分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力；
后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。
软件提供了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。该软件有多种不同版本，可以运行在从个人机到大型机的多种计算机设备上，如PC，SGI，HP，SUN，DEC，IBM，CRAY等。
ANSYS将模型信息（单元、节点、材料等）、边界信息（载荷、约束等）以及后处理信息（求解结果等）集成在一个数据库中，这些功能增强了程序的电磁分析能力和灵活性。
ANSYS程序提供了丰富的线性和非线性材料的表达方式，包括各向同性或正交各向异性的线性磁导率、材料的 B H曲线和永磁体的退磁曲线。在求解过程中，用户可以方便地选择多种求解器进行计算，像 Frontal，PCG，ICCG和JCG等迭代求解器非常适用于求解电磁场问题，它们提供了势场问题的快速解法。后处理功能允许用户显示磁力线、磁通密度和磁场强度并进行力、力矩、源输入能量、端电压和其他参数的计算。
ANSYS 的具体分析步骤： （1）创建有限元模型，包括：
①创建或读入几何模型； ②定义材料属性； ③网格划分。
8
（2）施加载荷并求解。施加载荷及载荷选项、设定约束条件，然后求解。 （3）后处理。计算或查看结果，然后检验结果。
3.2 基于 ANSYS 软件的开关磁阻电机有限元分析
本章采用大型有限元分析软件ANSYS对一台1.5kw的四相8/6极SRM样机进行实例计算。电机结构见表2-1，在ANSYS环境中建立的SR电机二维求解场域如图3-1所示。
（a）定子极中心线与转子槽中心线重合位置 （b）定、转子极中心线重合位置
图 3-1 定、转子位置图
3.2.1 基于 ANSYS 的SR电机有限元模型建立与求解
1.SR电机物理模型的建立
开关磁阻电机的二维物理模型的建立见图 3-1。由于所分析的电机为8/6极结构，在 ANSYS软件环境下创建物理模型时，可对转子建立1/12模型，定子建立1/16模型，利用镜像复制和旋转复制命令即可得到全场域的模型，并通过采用坐标系的变换对转子进行方便的旋转，得到各个转子位置角度的电机模型。SR电机的数学模型见（2-44）式，在 ANSYS 软件环境中可以选择静态磁场分析，来求解SR 电机的静态特性。 2.SR电机材料特性的确定
在 ANSYS软件环境下，模型可以有以下一种或多种材料区域分别为空气（自由空间）、导磁材料、导电区和永磁区。
ANSYS在建立模型时，要求每种材料区都要输入相应的材料特性，材料特性可以是线性的，也可以是非线性的。具体定义如下：
（1）描述线性材料特性：
① 相对磁导率（MURX，MURY，MURZ）；
② 矫顽力（MGXX，MGYY，MGZZ），只用于永磁体；
③ 电阻（RSVX，RSVY，RSVZ），用于静态分析中的载压导体或用于计算载流
导体的焦耳热；
（2）描述非线性材料特性：
9