浅谈正定二次型的判定方法
摘 要 二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性
及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。
关键词 二次型 矩阵 正定性 应用
1 引 言
在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.
现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.
2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义
设p是一个数域，aij?p，n个文字x1,x2,…，xn的二次齐次多项式
nn f(x1,x2,?,xn)?ax?2a12x1x2?2a13x1x3???ax?21112nnn??axxijii?1j?1j
(aij?aji,i,j?1,2,...,n)称为数域上p的一个n元二次型，简称二次型.当aij为实数时，f称
为实二次型.当aij 为复数时,称 f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即
f(x1,x2,...,xn)=d1x12?d1x22?...?dnxn2称f为标准型.
定义1 在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性
2222f的正惯性指数，负平方z1?z2?……?z2p?zp?1?……?zr,其中正平方项的个数p称为
项的个数称为的f负惯性指数.
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2.2 二次型的矩阵形式
二次型f(x1,x2,...,xn)可唯一表示成f(x1,x2,...,xn)=xTAx，其中x?(x1,x2,...,xn)T，
A?(aij)n?n为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵（必是对称矩阵），
称A的秩为二次型f的秩.
2.3 正定二次型与正定矩阵的概念
定义2.3.1 设f(x1,x2,...,xn)=xTAx是n元实二次型（A为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数c1,c2,...,cn都有f(c1,c2,...cn)?0，则称f为正定二次型,称A为正定矩阵；如果f(c1,c2,...cn)?0，则称f为半正定二次型，称A为半正定矩阵;如果f(c1,c2,...cn)?0，则称f为负定二次型，称A为负定矩阵;如果f(c1,c2,...cn)?0，称f 为半负定二次型，称A为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A为不定矩阵.
定义2 另一种定义 具有对称矩阵A的二次型f?XTAX,
(1) 如果对任何非零向量X, 都有XTAX?0 （或XTAX?0）成立，则称f?XTAX为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）. (2) 如果对任何非零向量X, 都有XTAX?0 （或XTAX?0）
T成立，且有非零向量X0，使X0AX0?0，则称f?XTAX为半正定（半负定）二次型，矩阵
A称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定
性的二次型及其矩阵称为不定的.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
定义3 n阶矩阵A?(aij)的k个行标和列标相同的子式
ai1i1ai2i1?aiki1称为A的一个k阶主子式.而子式
ai1i2ai2i2?aiki2?ai1ik?ai2ik???aikik(1?i1?i2???ik?n)
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a11a|Ak|?21?ak1a12a22?ak2?a1k?a2k???akk(k?1,2,?,n)
称为A的k阶顺序主子式.
3 实二次型正定的判别方法及其性质
定理1 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是它的
正惯性指数等于n
证明 设实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX经线形替换X?PY化为标准形
22 (1) f?d1y12?d2y2???dnyn其中di?R,i?1,2,?,n.由于p为可逆矩阵,所以x1,x2,?,xn不全为零时y1,y2,?,yn也不全为零,反之亦然.
(?)如果f是正定二次型,那么当x1,x2,?,xn不全为零,即y1,y2,?,yn不全为零时,有
222 f?d1y1?d2y2???dnyn?0 (2)
若有某个di(1?i?n),比方说dn?0.则对y1?y2???yn?1?0,yn?1这组不全为零的数,代入(1)式后得f?dn?0.这与f是正定二次型矛盾.因此,必有
di?0.(i?1,2,?,n)
即f的正惯性指数等于n
(?)如果f的正惯性指数等于n,则di?0,(i?1,2,?,n)于是当x1,x2,?,xn不全为零,即当y1,y2,?,yn不全为零时(2)式成立,从而f是正定型
定理2 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是对任
AX?0 何n维实的非零列向量X必有X?证明 (?)由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换X?QY,使
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22 (1) X?AX?y12?y2???ynAX?0 对X?0,因Q非奇异,故Y?0,于是由(1)可知X?(?)设X?AX的秩与正惯性指数分别为r与p,先证r?p,如p?r,则由惯性定理,
存在非退化的线形替换X?QY,使得
22X'AX?y12???y2p?yp?1???yr (2)
AX?0,但对列向量 由假设,对任何X?0,X? X?Q(0,?,0,1,0,?,0)??0 （因Q是非奇异阵,1是X的第p?1个分量）却有
AX??1?0 X?这与假设矛盾.故r?p.再证r?n.如果r?n,则(2)式应化为
XAX?y1?y2???yr,r?n (3) 于是取
X?Q(0,?,0,1)??0
'222AX?0,又与假设矛盾,故r?n?p,即f是正定二次型 由(3)即得X?定理3 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是f的
222规范形为f(x1,x2,?,xn)?y1 ?y2???yn证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则由定理1可知
f的正惯性指数为n，则二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX可经过非退化实线形替换成
222 f(x1,x2,?,xn)?y1 ?y2???yn22(?)f的规范形为f(x1,x2,?,xn)?y12?y2,则f的正惯性指数为n,由定???yn理1可知f为正定二次型
定理4 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵
A与单位矩阵合同
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证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则由定理3,可
222知f的规范形为f(x1,x2,?,xn)?y1 ?y2???yn此即存在非退化线形替换X?CY(其中C可逆),使得
22 f(x1,x2,?,xn)?X?AX?(CY)?A(CY)?Y?C?ACY?y12?y2???yn所以C?AC?E,因此矩阵A单位矩阵合同
(?)矩阵A单位矩阵合同,则存在可逆矩阵C,使得C?AC?E，令X?CY则
22 f(x1,x2,?,xn)?X?AX?(CY)?A(CY)?Y?C?ACY?y12?y2???yn因此,由证明4,可知f是正定二次型
定理5 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵
A的主子式全大于零
证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,以Ak表示A的
左上角k阶矩阵,下证Ak?0,(k?1,2,?,n),考虑以Ak为矩阵的二次型
g(x1,x2,?,xk)???ai?1j?1kkijxixj
由于g(x1,x2,?,xk)?f(x1,x2,?,xk,0,?,0)所以当x1,x2,?,xk不全为零时,由f正定二次型可知g?0,从而g为正定二次型,故Ak?0.
(?)对二次型的元数n作数学归纳法
2当n?1时,f(x1)?a11x1,因为a11?0,所以f正定,假设n?1,且对n?1元实二次型结
论成立
由于a11?a11?0,用?a1ia乘A的第1列到第i列,再用?1i乘第A的第1行到第i行a11a11(i?2,3,?,n),经此合同变换后,A可变为以下的一个矩阵
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