100当
?0ana110?000?0a2?01?00?0?0000=1?(?1)n?1a1a2?an?0，即当a1a2?an?(?1)n时，原0?1an?1?01二次型为正定二次型.
?A0? 例 4 设A,B分别是m,n阶正定阵，试判定分块矩阵C???是否为正定矩
0B??阵
解 因为A,B都是实对称阵，从而C也是实对称阵.且?X?Rm?n,X?0,令
?X1?X????X2?
则X1?Rm,X2?Rn，且至少一个不为零向量.于是
XTCX??X1T故C为正定阵.
0??X1?T?AX2??0B??X??X1TAX1?X2TBX2?0 ???2? 例 5 若A是n阶实对称阵，证明：A半正定的充要条件是对任何?>0，
B??E?A正定.
证 A是实对称阵，从而存在正交阵T，使
??1???,其中?,?,?为的全部实特征值.
A?T'?A1n??T??n???先证必要性 若A半正定，则?i?0,(i?1,2,?,n).又因为
????1???B??E?A?T'???T????n? ??
所以B的全部特征值为???i?0(i?1,2,?,n) 又B?B'?R
m?n，?B为正定阵.
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再证充分性 若A不是正定阵，则存在?k?0，此时可令????k2，则??0，但
????1?????k B??E?A?T'?2????即B中有一个特征值为
?????T ??????n???k2?0，这与B为正定阵的假设矛盾，从而得证A是半正定的.
例 6 设A?(aij)是阶正定阵，证明：
（1）对任意i?j，都有
aij?(aiiajj); （2）A的绝对值最大元素必在主对角线上.
证 （1）?A正定，从而A的一切2阶主子式均大于0，当i?j时
12 移项后，开方即证
aiiaijaijajj2?aiiajj?aij?0
aij?(aiiajj)(i?j,i,j?1,2,?,n).
（2）设的主对角线上最大元素为akk（由于A正定，akk?0).再由第一问结论可知
2 aij?(aiiajj)?akk?akk(i?j)
1212由此即证
aij?akk(i,j?1,2,?,n) 即A中绝对值最大元素必在主对角线上.
结束语
二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物
理的许多分支都有着广泛的应用.用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果.
本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用.将多元元函数求极值问题化为一个二次型问 第 12 页 共 12 页
题.在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值.
参考文献
[1] 王萼方，石生明 高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2008. [2] 白蒙蒙，朱小琨 实矩阵正定性的简单判别方法[M] 高等函授学报
[3] Liu Maosheng The Extension of positive matrix,Journal of ChongQING vocational&technical institute [4]. He ChunLing The Discussion in positive Definite Property of Product Matrix,HeiBei Like JiaoXue YanJiu [5] Zhan ShiLin Zhan XuZhou,some criterions on real positive definite matrix,Journal ofAnHui University [6] 张淑娜，郭艳君 正定二次型的几个等价条件以及正定阵的若干性质[M].2005. [7] 陈大新 矩阵理论[M]. 上海交通大学出版社 2003. [8] 郭忠 矩阵正定性的判定[J]. 科学通报 2007.
[9] 钱志祥，林文生.浅谈正定二次型的实际应用[J].科学创新导报，2009.
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