?a110?0????0? ???B ?A1???0???因为矩阵A与B合同,所以B是一个n阶对称矩阵.从而A1
也是对称矩阵.上述的变换不改变A的主子式的值,因此,B的主子式也全大于零,而B的
k(2?k?n)阶主子式等于A1的k?1阶主子式乘以a11,并且a11?0于是A1的主子式全大于
零,由归纳假设,A1与In?1合同,所以A与单位矩阵合同,此即f是正定二次型
定理6 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵
A的顺序主子式全都大于零
证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则由定理5可知
A的主子式全大于零,所以A的顺序主子式也全大于零.
(?)对二次型的元数n作数学归纳法
2当n?1时,f(x1)?a11x1,由条件知a11?0,所以f(x1)是正定的.
假设充分性的判断对于n?1元的二次型已经成立,现在来证n元的情形.
?a11?令A1=??a?n?1,1????a1n?a1,n?1????? ?????
?a?an?1,n?1???n?1,n?于是矩阵A可以分块写成：
A=???A1???? ?ann???则A1的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,A1是正定矩阵 则存在可逆的n?1阶矩阵G,使得G?AG?En?1 令C1=???G?0?0?? ?1?0??A1???1????????ann???0?G?于是C1AC1???0????G0??En?1????1?????GG???? ann??
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?E再令C2=?n?1?0??G'a?? 1??0??
ann???GG?????En?1???CCACC?则有2112?0?令 C?C1C2 ann???GG???d
?1??就有C?AC?????两边取行列式,C21????? ?d??A?d,则由条件A?0,因此d?0.
?1??1????????????11?????d??????1??1????????????1??1??????d?1????????? ?d??所以矩阵A与单位矩阵合同,因此A是正定矩阵即f是正定二次型
定理7 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵
A?T?T(T是实可逆矩阵)
证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则由定理4可知
存在可逆矩阵C,使得C?AC?E 则 A?(C?)C令T?C?1?1?1?(C?1)?C?1
,则A?T?T
(?)若A?T?T,
则 f(x1,x2,?,xn)?X?AX?X?AX?X?T?TX?(TX)?(TX) 令Y?TX
22则 f(x1,x2,?,xn)?Y? Y?y12?y2???yn所以f为正定二次型.
定理8 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是T?AT
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正定矩阵(其中T是实可逆矩阵)
证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则A是正定阵,
令T?1X?Y(其中T可逆)
则 f(x1,x2,?,xn)?(TY)?A(TY)?Y?T?ATY 又因非退化线性替换不改变正定性,则
f(x1,x2,?,xn)?Y?T?ATY
是正定二次型,所以T?AT是正定阵
(?)T?AT是正定阵,令g(y1,y2,?,yn)?Y?T?ATY,则g(y1,y2,?,yn)是正定二次型
令X?TY
则g(y1,y2,?,yn)?f(x1,x2,?,xn)?X?AX是正定二次型
定理9 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵
A的全部特征值都是正的
证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型,则A是正定阵,
'?1又对于任意一个n阶实对称矩阵A,都存在一个n阶正交矩阵T,使得TAT?TAT成
为对角形
??1?'?1令TAT?TAT=??????? ?n??则?i?0,(i?1,2,?,n)否则与f为正定二次型相矛盾， 则T?1AT特征值为?1,?2,?,?n均大于零,即为正的.
又相似矩阵有相同特征值，则A的特征值也均为正
(?) A的全部特征值均为正的,则存在一个n阶正交矩阵T,使得
??1?'?1 TAT?TAT=??????? ?n??其中?i(i?1,2,?,n)为A的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到.
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令X?TY,
22则 f(x1,x2,?,xn)?X? AX?Y?T?ATY??1y12??2y2????nyn所以f为正定二次型
定理10 实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型的充要条件是矩阵
A是正定阵
证明 (?)实二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX(A??A)是正定二次型, 则由正定阵的
定义可知A是正定阵.
(?) A是正定阵,则A的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f是正定二次型.
性质：若A为n阶实正定阵，显然
A，A也是正定阵
注 (1) 若A是负定矩阵，则?A为正定矩阵.
(2) A是负定矩阵的充要条件是：(?1)k|Ak|?0,(k?1,2,?,n).
其中Ak是A的k阶顺序主子式.
(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:
a.对称矩阵A是半正定（半负定）的; b.A的所有主子式大于（小于）或等于零； c.A的全部特征值大于（小于）或等于零.
T?1 例 1 考虑二次型f?x12?4x22?4x23?2?x1x2?2x1x3?4x2x3,问?为何值时，f为正定二次型.
?1??1??? 解 利用顺序主子式来判别,二次型f的矩阵为A??42，A的顺序主子式为 ????124????1?1?0；
?2?1?4??4??2；
1??12?1??4?2?4??8??4(??1)(??2).
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?3??4?12
2于是，二次型f正定的充要条件是：?2?0,?3?0，有?2?4???0，可知，?2???2；
由?3??4(??1)(??2)?0, 可得?2???1,
所以，当?2???1时, f正定.
例 2 已知A?E是n阶正定矩阵，证明E?A?1为正定矩阵.
分析：只要证明E?A的特征值全大于零即可 证明 由A?E正定知A是实对称矩阵，从而
?1(E?A)?E?(AT)?1?E?A?1
即E?A也是实对称矩阵.设A的特征值为?k(k?1,2?,n),则A?E的特征值为
?1?1TT?k?1(k?1,2?,n),
而E?A的特征值为1??11?k(k?1,2?,n),
因为A?E是正定矩阵，所以,?k?1?0(,从而
1?k?1，
故，1?1?k?0(k?1,2?,n)即，E?A?1的特征值全大于零，故，E?A?1为正定矩阵.
例 3 设有n元二次型f(x1,x2,?xn)?(x1?a1x2)2?(x2?a2x3)2???(xn?anx1)2其中ai(i?1,2,?,n)为实数，试问：当a1,a2,?,an满足何种条件时，二次型f(x1,?,xn)为正定二次型.
解 令
?1??y1??0???y2?0???
?????????yn??0?a?na110?000?0a2?01?00?0?0?1?00??0??x1???0??x2?? 0??????an?1??xn??1??
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