数码相机定位
第七组：李晨辉，姚晓红，孙娅
摘要
本文根据题意，在建立数学模型之前进行照相机成像原理的模型简化，将照相机复杂的成像过程看作简便的小孔成像过程。世界坐标和像坐标之间的互相转化是本文主要的思想主线。
针对第一个问题，本文建立了简单易懂的小孔成像原理的数学模型。本文将物体看作是无数特征点的集合，将特征点在建立的世界坐标中的坐标转换为物体在相机成像后的平面坐标，即像平面坐标。通过旋转矩阵和平移矩阵等种种运算方式实现以上所述坐标的转换。本文给出了确定像坐标的公式。第二个问题是实际运算，首先通过RAC两步法求得数据，又根据重心法测得了实际的数据，本文进行了数据对比，判别了算法的正确性，结果偏移量的微小(点偏移量：A为0.020891；B为0.03088；C为0.068728；D为0.179126；E为0.013284；F为0.0058 G0.048；H为0.0714)说明我们算法较为准确，模型合理。第三个问题我们运用了特殊点法，将二问中所得坐标与切线所得特殊点坐标进行对比校正，结果差距同样微小，本文以此分别验证了模型的稳定性和精确度。而针对第四个问题，我们运用所建立的模型逆向转换，用物体在两台相机中的成像的不同数据确定了双目的位置。
总体上，本文主要进行了实际物体的世界坐标与它在相机里成像为平面图像的相机坐标之间的转换，相机平面坐标与其3D坐标之间的转换，相机3D坐标和世界坐标之间的互相转换。这些转换是数码相机定位的关键。
关键字：小孔成像 坐标变换 RAC两步法 计算机扫描 畸变因素
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一、 问题重述
数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。如果知道两部相机精确的相对位置,用几何的方法得到特征点在固定一部相机中的坐标,即确定了特征点的位置.因此此题的重点如何精确的确定两部相机的相对位置.此过程为为系统标定. 标定的一种做法:在一块平板上画若干个点,用双目定位,利用这两组像点的几何关系得到两部相机的相对位置,然而没有几何尺寸的点在像平面与物平面是无法直接得到的,实际上用有几何尺寸的圆代替点(圆为靶标),圆心就是几何的点了,但由于镜像这些圆会发生变形,因此标定是将这些圆的圆心的像精确的找到。
二、 模型假设
1．相机镜头透镜很小，光学系统为针孔成像系统； 2．假设两个相机的各个参数相同；
3．假设靶标像的几何中心就是靶标圆的中心； 4．假设天气等因素不影响拍摄效果
三、 问题分析
对于数码相机定位问题，我们看为以下过程：第一，坐标变换。进行世界坐标和相机像平面坐标的坐标变换并建立两者的关系，从而对所求坐标定位。第二，系统标定。利用第一问中所得的关系来计算旋转正交矩阵R，平移矩阵T，得出数据从而找到相机与物体的相对位置。第三，模型检验。设计方法检验第二问中所运用的算法的精确度和稳定性。
对于问题一，首先简化模型，将相机镜头的光学系统简化为小孔成像原理。由于相机与物平面不在同一平面，故必须通过空间内坐标变换来在相机和物体之间建立关系，这个坐标系是由世界坐标系，相机坐标系，平面坐标系和像素坐标系组成。对变换过程中的一系列公式求解后最终总结出一个将靶标上圆心坐标与像平面的像坐标的算法。对于问题二，我们先不考虑畸变因素，将数据带入公式求得结果。再将考虑的结果与之对比。对于问题三，是模型建立精确度与稳定性的判断，要考虑问题二结果的误差来源，然后再得出模型需要改进的方面。问题四是前三个问题解决方案的总结，通过计算即可求得。
四、 符号说明
(xw,yw,zw): 世界坐标系中的物体点p 的三维坐标 (x,y,z):p 在相机坐标系中的三维坐标； (xu,yu):p 点对应的像平面的坐标计算值；
(u,v)：p 点的计算机图像坐标，以像素为单位； (u0,v0)：计算机图像中心坐标，以像素为单位;
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N:物距
F：透镜的焦距 M：像距 R：旋转正交矩阵 T：平移矩阵
偏移量：两点的距离
五、 模型建立与求解
在计算机视觉中，利用所拍摄的图像来计算出三维空间中被测物体几何参数。图像是空间物体通过成像系统在像平面上的反映，即空间物体在像平面上的投影。图像上每一个像素点的灰度反映了空间物体表面某点的反射光的强度，而该点在图像上的位置则与空间物体表面对应点的几何位置有关。这些位置的相互关系，由摄像机成像系统的几何投影模型所决定。计算机视觉研究中，三维空间中的物体到像平面的投影关系即为成像模型，理想的投影成像模型是光学中的中心投影，也称为针孔模型。针孔模型假设物体表面的反射光都经过一个针孔而投影到像平面上，即满足光的直线传播条件。针孔模型主要有光心（投影中心）、成像面和光轴组成。对于相机由于n>>f，于是 m≈f 这时可以将透镜成像模型近似地用小孔模型代替
YcZcM?xc,yc,zc?Yuo Xcm?xu,yu? Xu
根据题意要建立数学模型和算法来确立靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，关键就是从世界坐标（ ）到像平面的像素坐标（Xw,Yw,Zwu，v）的变换，这个过程必须要经过相机坐标系的转化，即以过相机透镜光学中心的截面以光学中心为坐标原点建立的坐标系。具体过程如下：
世界坐标到3D照相机的坐标 从3D照相机到忽略畸变的像平面坐标 无畸变平面坐标到考虑畸变的像素坐标 （Xw,Yw,Zw（X,Y,Z） 3
（Xd,Yd） （u,v）
建立世界坐标， 相机坐标， Xc,Yc,Zc像平面坐标 ?u,v??x,y?Xw,Yw,Zw
XcXwOwZwYwO2u u y x Zcv O1图像坐标系 世界坐标系
Xw,Yw,Zw到3D照相机坐标的转换 世界坐标
Yc
R为旋转矩阵，T为平移矩阵
3D照相机到像平面的转换（不考虑畸变因素）
这两个矩阵和相机与物平面的相对位置有关，在相机与物平面的相对位置确 定的情况下，这两个值已知。
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然而在实际中照相机的畸变因素会对像平面坐标造成影响，图形的像平面坐标（XU,YU）为理想坐标，现在根据实际情况对理想坐标进行优化。实际坐标（XD,YD）
XD=XU(1+K1X2D+K2YD2)
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YD=YU(1+K1XD2+K2YD2) 2 得到实际坐标是以毫米为单位的物理坐标系，计算时将它转换为以像素为坐标的像素坐标，但由于数码相机制作的原因，也会有些偏离. 若O2 在(u, v)坐标系中的原点，每一个像素在x轴与y轴方向上的物理尺寸为dx，dy，则图像中任意一个像素在两个坐标系下的坐标有如下关系.
U=U0+XD/DX
V=V0+YD/DY 3
其中1 毫米=3.78
像素，因此DX=DY=0.265. U0=1024/2=512 像素，V0=768/2=384 像素，从上述式子 中便完成了从世界坐标系到像平面坐标系的转化。 将1的代数式代入2式得
U=U0+ XU(1+K1X2D+K2YD2)/DX
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V=V0+ YU(1+K1XD+K2YD)/DY
将理想坐标(XU,YU)
U=U0+(R1XW+R2YW+R3ZW+TX)F (1+K1X2D+K2YD2)/ 0.265(R7XW+R8YW+R9ZW+TZ )
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V=V0+ (R4XW+R5YW+R6ZW+TY)YU(1+K1XD+K2YD)/ 0.265(R7XW+R8YW+R9ZW+TZ )
要求靶标上圆的圆心在像平面的坐标，只须将靶标上的图像转化成单色图读 入matlab，求出靶标上圆心的坐标（x0，y0，0），便可得到圆心的像坐标了。在
一般情况下，若考虑畸变因子，则有如下计算公式：
U=U0+(R1XW+R2YW+TX)F (1+K1X2D+K2YD2)/ 0.265(R7XW+R8YW+TZ )
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V=V0+ (R4XW+R5YW+TY)YU(1+K1XD+K2YD)/ 0.265(R7XW+R8YW+TZ )
考虑畸变因子对位置偏移造成的影响来作进一步讨论。
：求重心法确定圆心
这种方法是通过求圆在像坐标上的图像的重心来作为靶标上圆心在像平面 上的位置。用这个方法计算这五个圆的圆心坐标结果如下： 表2 方法二算得的圆心坐标 将上述两种方法对比得到下表：
圆的序号圆心坐标 1 189.4935 322.8948 2 196.9423 422.996 3 213.1522 639.8994 4 501.7731 284.6657 5 502.9824 582.7329
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