相机与物平面的相对位置不确定，即R,T 值未知时，通过RAC 两步法计算R,T 参数，求解圆心坐标代入坐标变换公式求解，
计算旋转正交矩阵R 和平移矩阵T中的Tx和Ty分量。 X=r1xw+r2yw+r3zw+tx Y= r4xw+r5yw+r6zw+ty Z= r7xw+r8yw+r9zw+tz RAC意味着
xXdr1xw?r2yw?r3zw?tx， 选世界坐标时，zw=0 ??yYdr4xw?r5yw?r6zw?ty?r1/ty???r/t?2y? Xd??xwYd,ywYd,zwYd,Yd?xw,Xd?ywXd?*??r/t?3y???r4/ty??
由该式可解出r1 , r2 , r4 , r5 共4 个独立变量。而正交阵加上一个比例(1/ ty ) 也正好有4 个独立变量,故式(4.2.1) 可唯一地确定(当方程数> 4 时) 旋转正交 矩阵R 和平移分量tx , ty。
选取N 个共面特征点, 确定这N 个点的图像坐标( X fi , Y fi ) 和世界坐标 ( xwi, ywi ) , i = 1 ，…，N 。根据式(5) ,计算:
Xdi=(Xfi-Xc)/NX YDI=(Yfi-YC)/NY
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利用式(4.2.1) 对每个物体点Pi ,可列出一个方程,联立这N 个方程
?r1/ty???r/t?2y???xwiYdi,ywiYwi,Ydi?xwiXdi,?ywiXdi?*?r3/ty?
???r4/ty?????r5/ty??Xdi
?r1/ty???r/t?2y?W??xwiYdi,ydiYdi,Ydi?xwiXdi,?ywiXdi?,???r3/ty?
???r4/ty???r/t??5y??则有W*.=Xdi ，用最小二乘法求解这个超定方程组，再利用R 的正交性计算t y di X
和r1～r9 ,可得:
s?[s2?4(2ty?r1r5r2r41/2?2)2tytyr12r22r42r52，S?2?2?2?2
r1r5r2r42tytytyty2(2?2)tyty
求得| ty | 后,需要确定它的符号。由成像几何关系可知, Xd 与x , Y d 与y 应有相同符号, 可以在求得ty 后, 任选一特征点Pk ,首先假设ty 为正,通过计算r1、r2、r4、r5 和tx，然后根据求下面的x，y：
X=r1xw+r2yw+tx X=r4xw+r5yw+tx
若此时x 与Xd , y 与xd同号,则ty 符号就为正,否则ty 为负。 利用正交性和右手系特性可计算
?r,r,1?r2?r21/212?12R??r4,r4,?sgn?r1r4?r2r5?1?r42?r52??r7,r8,r9???????1/2? ???7
?r,r,?1?r2?r21/2?1212??1/2R??r4,r5,sgn?r1r4?r2r5?1?r42?r52?
????r7,?r8,r9???
sgn(.)为符号函数，若括号里的数值为正的则返回1，为零则返回0，为负的
则返回-1.r7, r8 , r9根据旋转矩阵的性质由前两行叉乘得到。具体选取哪一个R, 可由试探法确定,即先任选一个,向下计算,若以此R 值,由第2 步计算出的f< 0 , 则放弃这个R;若f > 0；则选取正确
2、第二步：计算平移矩阵的tz 分量和有效焦距f 对每个特征点Pi 计算:
?????yi?r4xwi?r5ywi?ty ? z?rx?ry?t7wi8wiz?i设wi?r7xwi?r8ywi,若不计透镜畸变,则有:
?vt?f??(Yf?Yc)/NY*???(Yf?Yc)wt/NY
?tz??解此超定方程, 可分别求出有效焦距f 和平移矩阵T 的Tz 分量。
在得到旋转矩阵R、平移向量T 和f 的解后，令k=k1=k2=0，可以通过下式 用非线性优化方法计算f、tz 和k 的优化值：
r1xwi?r2ywi?tx?2x(1?kr)?f?dr7xwi?r8ywi?tz???yd(1?kr2)?fr4xwi?r5ywi?ty?r7xwi?r8ywi?tz?
4.2.3 计算结果及分析 （一）计算求解
按照上面的步骤，在物平面中，以圆E 为圆心，建立空间直角坐标系得到5 个圆的圆心坐标如下：
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A 点坐标(xw1 ,yw1 ,zw1 ) =（0，100，0）， B 点坐标(xw2 ,yw2 ,zw2 )=（30，100， 0）， C 点坐标(xw3 ,yw3 ,zw3) =（100，100，0）， E 点坐标(xw4 ,yw4 ,zw4 ) =（0，0，0），D 点坐标(xw5 ,yw5 ,zw5 ) =（100，0，0）.在像平面中，由图2 可得这五个圆心A,B,C,E,D 的坐标分别为：(xd1,yd1 )= (-51.5873 - 50) , (xd2 yd2, )= (-49.4709 - 23.545)，(xd3,yd3 ) =(-45.2381 33.86243)， (xd4,yd4 =) (31.21693 - 60.0529) ，(xd5,yd5 )= (31.48148 18.78307)
由式（4.2.2）可计算出， ， ， ， 这五个 值，如下表：
表4 最小二乘法计算ri，值'
圆心 1 2 3 4 5 xwiYdi 0 -706.349 3386.243 0 1878.307 ywiYdi -5000 -2354.5 3386.243 0 0 Ydi -50 -23.545 33.86243 -60.0529 18.78307 -xwiXdi 0 1484.128 4523.81 0 -3148.15 -ywiXdi 5158.73 4947.09 4523.81 0 0 X -51.5873 49.4709 -45.2831 31.21693 31.48148 ri, -.0005 0.0132 -0.5198 -.0123 -0.0022 代入式（4.2.3）计算出| ty |=70.3027，下面通过任选一点（圆2 的圆心）来 判断ty的正负符号，将ty= ± 70.3027 分别计算得到下表：
表5：检验ty 的正负号 ty tx ty tx 70.3027 36.5434 -70.3027 36.5434 X y x Y 54.7146 27.5098 -54.7146 -27.5098 9
而圆2 圆心在像平面的坐标为(xd2 ,yd2 ) (-49.4709 - 23.545)，由于与x d2与x, Yd2与y 应有相同符号,于是ty=-70.3027.至此，可求出r1= 0.035151，r2= -0.928，tx= 36.5434，r4= 0.942056，r5= 0.154666.
由式（4.2.5）可算出，
,?0.928,0.37093?0.035151??
R1??0.942056,0.154666,0.29767????,0.33897,0.879661??0.333608?,?0.928,0.37093?0.035151?? R2??0.942056,0.154666,?0.29767????,?0.333897,0.879661?0.333608?R1 和R2 分别往下用最小二乘法来计算相机焦距f 和tz,舍弃f<0 的R 值， 下表为计算结果：
表6：R1、R2 计算结果对照表 yi (Yf-Yc)/Ny Yi*wi B yi (Yf-Yc)/Ny Yi*wi -54.8361 -50 -1694.86 -424.74 -54.8361 -50 1694.86 -26.5744 -23.545 -52.465 -498.429 -26.5744 -23.545 562.465 39.3695 33.86243 18.1638 39.3695 3386243 -18.1638 -70.3027 -60.0529 0 -70.3027 -60.0529 0 23.9029 18.78307 -626.618 23.9029 18.78307 626.618 tz f tz F -498.4294 -424.7395 498.4294 424.7395 B 424.7395 498.4294 ?f?其中B=?? ，为最小二乘法求得的参数。从表中可得，R1的f 值为负，舍去。于是得到了旋转正交
?tz?矩阵（求解程序见附录四）：
（二）结果分析检验
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