为了检验这个计算结果正确性，我们将五个圆心在物平面的坐标代入整个坐 标变换公式（1）、（ 3），求出它们在像平面的坐标，即得到一组坐标的计算值， 然后再用图2 中的各圆心在像平面的坐标位置，即实际测量值作对比，观察计算 值与实际值之间的误差，结果如下：
表7 五个圆心坐标实际值和计算值对比表 圆 1 2 3 4 5 计算Xu -51.4372 -49.4085 -44.9921 31.14067 31.99462 值 Yu -50.1387 -23.7855 33.58509 -59.9089 19.09119 实际Xu -51.5873 -49.4709 -45.2381 31.21693 31.48148 值 Yu -50 -23.545 33.86243 -60.0529 18.78307 偏移量 0.020891 0.03088 0.067828 0.013284 0.179126 偏移量给出的是该点的计算值和实际指的距离。 模型的检验
（一）八点法检验稳定性
对圆外三点求偏移量：在物平面内任取三个不共线的能在像平面图像上准确
找到的点（如取圆心AD 与BE、CE 的交点F,G，BD 与CE 交点H 这三点），通过上 文的坐标转换和旋转正交矩阵R、平移矩阵T 的求解结果，可以算出这三个点在 像平面上的坐标计算值。然后在图2 上，通过圆心的连线可找到这三个点
F’,G’,H’并得出它们的坐标实际值。下面就对取圆心AD 与BE、CE 的交点F,G，BD 与CE 交点H 这三点来计算检验，如下图：
八点法图示：
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单位：mm
从这个结果的偏移量可以看出误差很小。
接下来用各圆心A,B,C,D,E及这三个点F,G,H共八个点用上述方法对模型进
行检验，由于F,G,H 这三个点的选取不在原图这5 个圆内，所以在物平面内具有 一般性，可以根据这八个点两组值的对比，求出偏移量的方差，来用作原模型稳 定性的检验。结果如下表：
八点检验结果 点 A B C D E F G H 偏移0.020891 0.03088 0.068728 0.179126 0.013284 0.0058 0.048 0.0714 量 计算出偏移量的方差为0.00312，说明模型的稳定性较好
（二）利用计算机扫描大量的点来检验模型精度
通过上文的坐标转换和旋转正交矩阵R、平移矩阵T 的求解结果，可以求得 物平面上任意一点在像平面的坐标。接下来我们要详细讨论利用计算机扫描物平 面各圆内大量的点来检验精度的方法。 首先，建立直角坐标系如下：
每个实心圆内和圆上的点都能通过坐标变换在像平面中找到一对应点，若将 原图用一定的方式将各点通过坐标变换映射到像平面上，从而在像平面形成一个 新的图像，将这个新图像存入1024*768 的0-1 矩阵A1，又将像平面的拍摄图像 也以1024*768 存入矩阵A2 作实际图像用以对比，我们要检验这个坐标变换模型 的精度便可通过对照这两个矩阵的0-1 差异性来衡量算法精度的高低。这个差异
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性对比可由矩阵A1 与A2 的相减得到一个矩阵A3，显然，A3 中非零点就是误差 点。将A3 中的非零点都置成1，则可得到一张显示误差点的直观图，图中黑色 的区域越多表明误差点越多，精度越低。
在这样的设想下，我们利用计算机对原图像上的点进行扫描，如上图，例如 扫描圆E，对实心圆实行一圈圈地读点，从最外层半径r=12mm 的圆周开始，以 每增加Δθ =0.01 弧度取点遍历整个圆周，再将r以0.05mm 的幅度减少遍历实心
圆内部的点，直到r=0 时结束。其它实心圆同样这么读点。然后用获得的这些点按照上述设想的思路进行变换，进而计算误差。
下面利用问题2 算出的R,T 矩阵，用上述方法读取图1 中的点，算出它们
在像平面的像坐标（程序见附录五），下图为图1 各点用问题推出来的公式在像 平面的图像：
图2 为像平面上拍摄的图，利用图像矩阵的相减（程序见附录六）得到的新
矩阵A3，这个矩阵即可作为误差矩阵来评价算法的精度。A3 对应的图像如下：
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图中黑色的点即为计算有误差的点，从这个图中可以看出，黑色区域仅为一 些细曲线，除了圆D 的误差较大外，其他各圆的计算值和实际值基本都是比较吻 合的，这说明本题中的算法还是比较精确的。
4.4用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型 4.4.1 用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型
在前面的讨论中，可以得出，用一部照相机拍摄物体P，可以根据物体的原 图像和拍摄图像，用RAC 两步法求出旋转正交矩阵R 和平移矩阵T，从而算得 从物体到像平面的坐标变换关系，确立物体P 与相机的相对位置。在这个基础 上，我们设想，固定物体不动，若采用两部固定相机对它进行拍摄，分别得到两 幅图，利用单相机定标方法可分别得到两个相机各自内外参数，确立每部相机与 固定物体的相对位置，那么，这两部相机之间的相对位置也就可以确定了。 在此题中，我们就依据这样的思路建立测量两部固定相机相对位置的数学模 型。如下图中：
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物体P 可以看成为靶标上某个圆的圆心，设它在世界坐标系、C1 坐标系与
C2坐标系下的坐标分别为Qwi=( xw1,yw1 ,zw1 )， Qc1 = (xc1,yc1 ,zc1 )Qc2 = (xc2,yc2 ,zc2 )，照相机C1，C2的外参数（旋转正交矩阵R 和平移矩阵T）分别用(R1,t1), (R2,t2)表示，则：
?Qc1?R1Qw1?t1 ?Q?RQ?t2w12?c2
?1?1将上式中消去Qw1后得到：Qc1?R1R2Qc2?t1?R1R2t2 ，即
由此得到了两个相机的相对位置，也可以用R,t 来表示：
以上关系式表示，如果对两个相机分别定标，得到R1， t1与R2，t2 ,则这两个相机的相对位置便可由式（4.4.2）计算。 22
4.4.2 利用不同位置拍摄的两张照片应用模型
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