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20．本题满分 8 分．
2010年“五·一”在中国上海市举行历来首次由中国举办的世界博览会。上海世博会的主题是“城市，让生活更美好”。万向公司组织部分员工到A、B、C（C地为上海）三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图9．根据统计图回答下列问题：
（1）前往 A地的车票有_____张，前往C地的车票占全部车票的________%；
（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一 张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王想去上海，抽到去 地车票的概率为______；
（3）最后还剩一张去上海的车票，员工小张、小李都想去上海参加上海世博会。决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
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车票(张) 50 40 30 20 10 0 A B C 地点 图9
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21.如图，ΔABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心、OB为半径作⊙O交AB于点D。已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C。
（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明。
（2）若ΔACB∽ΔCDB，且AC=3，求圆心O到直线AB 的距离。
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C
O
A D (第21题图)
· B
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22. (1)阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围。 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得 DE=AD,再连结BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把 AB、AC 、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8, 则1＜AD＜4.
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中
点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集 中到同一个三角形中。 （2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC 边上的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF。 ①求证：BE+CF＞EF
②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明。 （3）问题拓展：
如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以 D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连结 EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明。
AFEBDCAEFBCD8
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23.某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）
A型板材块数 B型板材块数 裁法一 1 2 裁法二 2 裁法三 单位：cm
0 30 m n A 60 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；
（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式， 并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？
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150 B B 40 40 图15
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24.（09年福建龙岩）26．（14分）如图，抛物线y?12x?mx?n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四2边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD. （1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到
△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
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参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共3０分）
题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 B 8 C 9 A 10 B 二、填空题（每小题4分，共24分）
11 x??1或x?1 12． x??2或x?8 13． 22 14．15．（x?y≥2xy，或(x?y)16.4?? ，S2?2?
三、解答题（共66分）
17、（本小题6分）(b+c)-ad=22-5 18. （本小题6分） 19.（本题6分）
解：(1) 函数解析式为y?填表如下：
22 5x?y等） 2≥4xy，或x2?y2≥2xy，或xy≤12n?3??2 ， Sn?? （1分、1分、2分） 2n?112000． x ??1分
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售价x(元/千克)
销售量y(千克)
第1天
400
30
第2天
300
第3天
250
第4天
240
第5天
200
第6天
150
第7天
125
第8天
120
40
8
450
0
6
0
8
6
9
00
1
??2分
(2) 2 104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1 600，
即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克． ??1分 当x=150时，y?12000=80． 150 ??1分
??1
1 600÷80=20，所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．
20．本题满分 8 分．
解：（1）30；20． ························ 2 分 （2）
1． ····························· 2 分 2（3）可能出现的所有结果列表如下：
小李抛到 的数字 小张抛到 流云阁数学工作室
12
1 2 3 4 流云阁数学工作室 的数字 （1 1，1） （2 2，1） （3 3，1） （4 4，1） 或画树状图如下： 小张
1
2
3
4
开始
4，2） 4，3） 4，4） 3，2） （3，3） （3，4） （2，2） （2，3） （2，4） （1，2） （1，3） （1，4） （（（（ 小李 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）， ∴小张获得车票的概率为P?6335?；则小李获得车票的概率为1??． 16888∴这个规则对小张、小李双方不公平． 21． （1）解：CD与AC互相垂直。 ????（1分）
证明：连结OD，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B， ∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠A=∠ODB， ∴OD∥AC，∵⊙O与直线CD相切，∴CD⊥OD， ∴CD⊥AC???????????（3分） （2）解：∵ ΔACB∽ΔCDB且AC=BC， ∴CD=DB ，∴∠A=∠B=∠DCB，
又∵∠A+∠B+∠DCB+∠ACD=180°，∠ACD=90°，
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C O · ┐ E A D B 流云阁数学工作室
∴∠A=∠B=∠DCB=30°，??????????（6分） 在RtΔACD和RtΔCDO中，OD=CD·tan∠DCB， CD=AC·tan∠A， ∴OB=OD= AC·tan∠A·tan∠DCB=3?过点O作OE⊥AB于E，则OE=
22、证明：①延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG。
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD） ∴CF=BG DF=DG ∵DE⊥DF ∴EF=EG 在△BEG中，BE+BG＞EG；即BE+CF＞EF（4分） ②若∠A=90°则∠EBC+∠FCB=90° 由①知∠FCD=∠DBG EF=EG ∴∠EBC+∠DBG=90°即∠EBG=90° ∴在Rt△EBG中，BE?BG?EG ∴BE?CF?EF?(3分)
（2）将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG. ∵∠C +∠ABD=180° ∠4=∠C ∴∠4+∠ABD=180° ∴点E、B、G在同一直线上
∵∠3=∠1，∠BDC=120°,∠EDF=60°
∴∠1+∠2=60°故∠2+∠3=60°即∠EDG=60° ∴∠EDF=∠EDG =60° ∵DE=DE,DF=DG ∴△DEG≌△DEF
∴EF=EG=BE+BG,即EF=BE+CF??（4分）
23．解：（1）0 ，3．
（2）由题意，得
22222233??1???????（8分） 33111OB=，即圆心O到直线AB的距离为。（9分） 222AEFBG4C321D1x?2y?240， ∴y?120?x．
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2x?3z?180，∴z?60?2x． 312（3）由题意，得 Q?x?y?z?x?120?x?60?x．
231整理，得 Q?180?x．
61?120?x??2由题意，得?
2?60?x?3? 解得 x≤90．
【注：事实上，0≤x≤90 且x是6的整数倍】 由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小． 此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．
24.解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，
又D（5，2），
∴C（0，2），OC=2 . ??????????? 2分
5?n?2???m?? ∴?12 解得?2
?5?5?m?n?2???2?n?2 ∴抛物线的解析式为：y?125x?x?2 ?? 4分 22 （2）点E落在抛物线上. 理由如下：??? 5分 由y = 0，得
125x?x?2?0. 22 解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. ???????????? 6分 ∴OA=4，OB=1.
由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°， 由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴点E的坐标为（3，－1）. ??????????????????? 7分 把x=3代入y?12515x?x?2，得y??32??3?2??1， 2222 ∴点E在抛物线上. ??????????????????????? 8分 （3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1. S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，
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下面分两种情形：
1 ①当S1∶S2 =1∶3时，S1?(5?3)?2?5，
4此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a， 由△EPF∽△EQG，得
PFEF1??，则QG=9－3a， QGEG3∴CQ=3－(9－3a) =3a －6
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由S1=2，得(3a?6?a?1)?2?2，解得a?；??????? 11分
42 ②当S1∶S2=3∶1时，S1?3(5?3)?6?5 4此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，
由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，
113由S1= 6，得(3a?6?a?1)?2?6，解得a?.
42综上所述：所求点P的坐标为（
913，0）或（，0）??? 14分 44 法二：存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8. 当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3， 此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.
1?k???3k?b??1?a?3设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则?，解得?，
aak?b?0??b???a?3?∴y?1a. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） ??? 10分 x?a?3a?31(3a?6?a?1)?2?4a?7. 2∴CQ = 3a－6，BP = a－1，S1?下面分两种情形：
11①当S1∶S2 = 1∶3时，S1?S梯形ABCD??8= 2；
44 ∴4a－7 = 2，解得a?9；?????????????????? 12分 433②当S1∶S2 = 3∶1时，S1?S梯形ABCD??8?6；
44 ∴4a－7 = 6，解得a?13； 4 流云阁数学工作室
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综上所述：所求点P的坐标为（
913，0）或（，0）???? 14分 44[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出a?
(命题人：河庄初中 陈国亚)
913或a?两个答案，就给6分. ] 44 流云阁数学工作室
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