二、应用举例——作为变化率的导数.
三、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 四、复合函数的求导法则
定理3 若函数u?g(x)在点x处可导, 而y?f(u)在点u?g(x)处可导, 则复合函数
dydydudy y?f[g(x)]在点x处可导, 且其导数为?f?(u)?g?(x)或??dxdxdudx 注: 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 这一法则又称为链式法则.
复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.
五、初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则
六、双曲函数与反双曲函数的导数
例题选讲
例1 求y?x3?2x2?sinx的导数. 例2 求y?2xsinx的导数. 例3 求y?tanx的导数; 例4 求y?secx的导数; 例5 人体对一定剂量药物的反应有时可用方程：R?M(2CM?)来刻画，其中，C为一正常23数，M表示血液中吸收的药物量。衡量反应R可以有不同的方式：若反应R是用血压的变化来衡量，单位是毫米水银柱；若反应R用温度的变化衡量，则单位是摄氏度。
例6 求y?sin2x?lnx的导数.
例7 （瞬时变化率） 圆面积A和其直径D的关系方程为A=
?4D2,当D=10m时，面积关于直
径的变化是多大？
例8 (质点的垂直运动模型）一质点以每秒50米的发射速度垂直射向空中，t秒后达到的高度为（见图），假设在此运动过程中重力为唯一的作用力，试求 s?50t?5t2（米）
(1) 该质点能达到的最大高度？(2) 该质点离地面120米时的速度是多少？ (3) 何时质点重新落
回地面？
例9 (经济学中的导数)某产品在生产8到20件的情况下，其生产x件的成本与销售x件的收入分别为C(x)= x?2x?12x(元) 与 R(x)= x?3x?10x(元)，某工厂目前每天生产10件，试问每天多生产一件产品的成本为多少?每天多销售一件产品面获得的收入为多少?
例10 求函数y?arcsinx的导数. 例11 (求函数y?logax(a?0,且a?1)的导数.
例12 求函数y?lnsinx的导数. 例13 求函数y?(x2?1)10的导数. 例14 求函数y?(x?sin2x)3的导数. 例15 求函数y?esin例16 求函数y?lnx2?1323232(1?x)的导数.
x?2(x?2)的导数.
x2a2x2a?x?arcsin(a?0)的导数. 例17 求函数 y?22a例18 求函数y?x?x?x的导数. 例19 求导数 y?logxsinx(x?0,x?1). 例20 求导数 y?logxe?x1/x. 例21求导数y?xa?ax?aa(a?0).
aaxx?00?x?1?x,?2x,,求f?(x). 例23求函数f(x)??2例22 设f(x)??的导数.
ln(1?x),x?0x?1,1?x?2??例24已知f(u)可导，求函数y?f(secx)的导数. 例25求导数y?f(tanx)?tan[f(x)],且f(x)可导.
例26 求导数: y?f(sinlnx?coslnx),且f(x)可导.
例27 求函数y?fn[?n(sinxn)](n为常数)的导数. 例28 求函数y?arctan(thx)的导数.
课堂练习
1. 求下列函数的导数：
2tanx(1) y??4lnx; (2) y?ln21?xxbx2?1?xx?1?x2.
?a??x?(3) y??????,(a,b为常数，且a?0,b?0).
?b??a?2. 若f(u)在u0不可导，u?g(x)在x0可导，且u0?g(x0),若f[g(x)]在x0处（ ）.
(1) 必可导； (2) 必不可导； (3 ) 不一定可导. 3. 幂函数在其定义域内（ ）.
(1) 必可导； (2) 必不可导； (3 ) 不一定可导.
第三节 高阶导数
内容要点
一、 高阶导数的概念
定义1 如果函数f(x)的导数f?(x)在点x处可导, 即
f?(x??x)?f?(x) (f?(x))??lim?x?0?x存在, 则称(f?(x))?为函数f(x)在点x处的二阶导数, 记为
d2yd2f(x)f??(x),y??,或. 22dxdx类似地，二阶导数的导数称为三阶导数, 记为
d3f(x)d3y，或. f???(x),y???,dx3dx3一般地, f(x)的n?1阶导数的导数称为f(x)的
(n)(n)n阶导数,记为
dnydnf(x)f(x),y,或.
dxndxn注: 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f(x)称为零阶导数; f?(x)称为一阶导数. 二、求高阶导数的方法：
求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式, 通过导数的四则运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数（间接法）.
三、莱布尼茨公式
例题选讲
例1 （1）设y?ax?b, 求f(x). （2）设y?arctanx, 求f例2 证明: 函数y?x/////(0).
2x?x2满足关系式y3y???1?0.
(n)例3 （1）设y?e，求y例4 设y?ln(1?x)，求yax. （2）设y?x?(??R)，求y(n).
?n?(n). 例5 设y?sinkx的n阶导数.
.(图示见系统)
例6 设 y?esinbx(a,b为常数), 求 y1, 求y(100). 2x?166?n?例9 设y?ln(1?2x?3x2),求y(n). 例10设y?sinx?cosx, 求y.
例11（弹簧的无阻尼振动）设有一弹簧，它的一端固定，另一端系有一重物，然后从静止位置O（记作原点）沿x轴向下（记为正方向） 把重物拉长到4个单位，之后松开，若运动过程中忽略阻尼介质（如空气、水、油等）的阻力作用，则重物的位置x与时间t的关系式为：x?4cost.试求t时刻的速度和加速度，并尝试分析弹簧整个运动过程的详细情况：
(1) 物体会在某个时刻停止下来还是会做永不停止的周期运动？
例7 设y?x2e2x, 求y(20). 例8 设函数y?(2) 何时离点O最远，最近？ （3）何时速度最快，最慢？ （4）何时速度变化最快，最慢？
（5）据前面问题再加以分析，对无阻尼振动的运动性态作一详细阐述.
课堂练习
1. 求函数y?cos2xlnx的二阶导数. 2求函数y?3 设g?(x)连续, 且f(x)?(x?a)2g(x), 求f??(a).
x的n阶导数.
x2?3x?2第四节 隐函数的导数
内容要点
一、隐函数的导数
假设由方程F(x,y)?0所确定的函数为y?y(x)，则把它代回方程F(x,y)?0中，得到恒等式
dy，这就F(x,f(x))?0利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x求导，再解出所求导数dx是隐函数求导法.
二、对数求导法：形如y?u(x)v(x)的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 三、参数方程表示的函数的导数
?x??(t)设?，x??(t)具有单调连续的反函数t???1(x), 则变量y与x构成复合函数关系?y??(t)dydydt?. y??[??1(x)]. 且
dxdxdt 四、极坐标表示的曲线的切线
设曲线的极坐标方程为r?r(?).利用直角坐标与极坐标的关系 x?rcos?，y?rsin?，可写出其
?x?r(?)sin?参数方程为?，其中参数为极角?. 按参数方程的求导法则，可得到曲线r?r(?)的切线
y?r(?)sin???r?(?)sin??r(?)cos?dyy?斜率为y??. ???r?(?)cos??r(?)sin?dxx? 五、相关变化率： 设x?x(t)及y?y(t)都是可导函数, 如果变量x与y 之间存在某种关系, 则它dxdy们的变化率与之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率
dtdt问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.
例题选讲
例1求由方程ysinx?cos(x?y)?0所确定的函数的导数.
例2 求由方程xy?e?e?0所确定的隐函数y的导数
xydydy,dxdxx?0.
例3 求由方程xy?lny?1所确定的函数y?f(x)在点M(1,1)处的切线方程. 例4 设x?xy?y?1, 求y??在点(0,1)处的值.
例5求由方程y?2x?(x?y)ln(x?y)所确定的函数的二阶导数.
例6设y?xsinx(x?0), 求 y?. 例7 设(cosy)x?(sinx)y，求 y?. 例8 设y?(x?1)3x?1(x?4)2ex(x?1), 求 y?. 例9 求函数y?x?xx?xx的导数.
x44?x?arctant例10 求由参数方程 ?所表示的函数y?y(x)的导数. 2?y?ln(1?t)?x?a(t?sint)例11 求由摆线的参数方程?所表示的函数y?y(x)的二阶导数.
y?a(1?cost)??x?acos3t例12 求方程 ? 表示的函数的二阶导数. 3?y?asint?x?v1t,?例13 如果不计空气的阻力，则抛射体的运动轨迹（图示见系统）的参数方程为?12其
y?vt?gt,2?2?中v1,v2分别是抛射体初速度的水平、铅直分量，g是重力加速度, t是飞行时间. 求时刻t抛射体的运动速度.
例14 求心形线r?a(1?cos?)在???2处的切线方程.
例15 求心形线r?a(1?cos?)的?和?.
例16 一汽车从离开观察员500米处离地面沿直上升, 其速率为140米/秒. 当气球高度为500米时, 观察员视线的仰角增加率是多少? (图示见系统)
例17 一长为5米的梯子斜靠在墙上. 如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速率. (图示见系统)
例18 河水以8米3/秒的体流量流入水库中, 水库形状是长为4000米, 顶角为120?的水槽, 问水深20米时, 水面每小时上升几米?
例19正在追逐一辆超速行驶的汽车的巡警车由正北向正南驶向一个垂直的十字路口，超速汽车已经拐过路口向正东方向驶去，当它离路口东向1.2千米时，巡警车离路口北向1.6千米，此时警察用雷达确定两车间的距离正以40千米/小时的速率增长（示意图见右）.若此刻巡警车的车速为100千米/小时，试问此刻超速车辆的速度是多少？
例20 现以18升/分钟的速度往一圆锥形水箱注水，水箱尖点朝下，底半径为0.5米，高为1米．求注水高度为0.3米时水位上升的速度有多快．（示意图见下）。
课堂练习
?x?1. 用对数求导法则求函数y???的导数.
1?x?? 2. 水注入深8米, 上顶直径8米的圆锥形容器中, 其速率为每分钟4立方米, 当水深为5米时, 其
表面上升的速率为多少?
x第五节 函数的微分
内容要点
一、微分的定义
定义1 设函数y?f(x)在某区间内有定义, x0及x0??x在这区间内, 如果函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)可表示为?y?A??x?o(?x)其中A是与?x无关的常数, 则称函数y?f(x)在点
x0可微, 并且称A??x为函数y?f(x)在点x0处相应于自变量改变量?x的微分, 记作dy, 即dy?A??x
dy 二、函数可微的条件 dy?f?(x)dx， ?f?(x)即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微
dx分的商. 因此，导数又称为“微商”.
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 四、微分的几何意义 五、近似计算
一些常用函数在x?0处的标准线性近似公式：
1n；tanx?x(x为弧度）；ex?1?x；ln(1?x)?x． 1?x?1?x；sinx?x(x为弧度）n 六、误差计算：绝对误差；相对误差；百分比误差．
例题选讲
例1 求函数y?x2当x由1改变到1.01的微分. 例2 求函数y?x3在x?2处的微分
sinx.例3 求函数y?x3e2x的微分. 例4 求函数y?的微分.
x例5 设y?sin(2x?1), 求dy. 例6 设y?ln(1?e), 求dy. e2x 例7 设y?ln(x?x?1),求dy. 例8 已知y?2, 求dy.
x例9 在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.
2x2 (1) d()?cos?dt; (2) d(sinx2)?()d(x).
例10 求由方程exy?2x?y3所确定的隐函数y?f(x)的微分dy. 例11求f(x)?1?x在x?0与x?3处的线性化.
例12求f(x)?ln(1?x)在x?0的线性化．
例13半径10厘米的金属圆片加热后, 半径伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少? 例14 计算cos60?30'的近似值.
例15计算下列各数的近似值: (1) 3998.5; (2) e?0.03.
例16 正方形边长为2.41?0.005米，求出它的面积，并估计绝对误差与相对误差.
课堂练习
1. 求函数y?x?x的微分dy.
2. 因为一元函数y?f(x)在x0的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是微分”,判断这种说法对吗?
3. 设A?0,且|B|??A,证明 ：并计算101000的近似值.
nnAn?B?A?B (A,B为常数) n?1nA第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
内容要点
一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内可导；在区间端点的函数值相等, 即f(a)?f(b). 结论：在(a, b)内至少存在一点?(a???b),使得 f?(?)?0.
注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.
罗尔定理中f(a)?f(b)这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.
二、拉格朗日中值定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内可导. 结论：在(a, b)内至少存在一点?(a???b), 使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)
拉格朗日中值公式反映了可导函数在[a,b]上整体平均变化率与在(a,b)内某点?处函数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
拉格朗日终值定理可改写为?y?f?(x0???x)??x(0???1). 称为有限增量公式.
拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中,当自变量x取得有限增量?x而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值.
推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那末f(x)在区间I上是一个常数.
三、柯西中值定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内可导；在(a, b)内每一点处, g?(x)?0. 结论：在(a, b)内至少存在一点?(a???b), 使得
f(a)?f(b)f?(?)?
g(a)?g(b)g?(?)