第七节 曲率
内容要点
一、弧微分的概念 微分三角形；ds? 二、曲率及其计算公式： K?(dx)2?(dy)2
y??(1?y?)322. 三、曲率圆的概念：曲率半径 曲率中心；
例题选讲
例1 抛物线y?ax2?bx?c上哪一点的曲率最大?
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时, 若接头处的曲率突然改变, 容易发生事故, 为了行使平稳, 往
?往在直道和圆弧弯道之间接入一段缓冲段OA, 使轨道曲线的曲率由零连续地过渡到圆弧的曲率1R,
x3其中R为圆弧轨道的半径. 通常用三次抛物线y?,x?[0,x0]. 作为缓冲段OA, 其中OA的长度,
6Rll?l?验证缓冲段OA在始端0处的曲率为零, 且当很小???1?时, 在始端A的曲率近似为1R.
R?R?例3 求曲线y?tanx在点(,1)处的曲率与曲率半径.
4?x?acost例4 求椭圆?在(0,b)点处的曲率及曲率半径.
y?bsint?例5飞机沿抛物线y?x/4000(单位为米)俯冲飞行, 在原点处速度为
2?v?400米/秒,飞行员体重70千克. 求俯冲到原点时,飞行员对座椅的压力.
例6 设y?f(x)为过原点的一条曲线, f?(0),f??(0)存在, 有知有一条抛物线y?g(x)与曲线
y?f(x)在原点相切, 在该点处有相同的曲率, 且在该点附近此二曲线有相同的凹向, 求g(x).
课堂练习 1. 椭圆x?2cost,y?3sint上哪些点处曲率最大?
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
内容要点
一、原函数的概念 二、不定积分的概念
注: 由定义知, 求函数f(x)的不定积分, 就是求f(x)的全体原函数, 在f(x)dx中, 积分号
??表
示对函数f(x)实行求原函数的运算, 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运算； 三、不定积分的性质； 四、基本积分表；
五、直接积分法：利用不定积分的运算性质和基本积分公式, 直接求出不定积分的方法.
例题选讲
例1 问
df(x)dx 与 f?(x)dx是否相等? dx例2 求下列不定积分
11(1)x3dx;(2)2dx;(3)dx.
x1?x2例3 检验下列不定积分的正确性：
???????（1）xcosxdx?xsinx?C；（2）xcosxdx?xsinx?cosx?C;
例4已知曲线y?f(x)在任一点x处的切线斜率为2x, 且通过点(1, 2), 求曲线的方程. 例5 质点以初速v0铅直上抛, 不计阻力, 求它的运动规律.
32例6 计算不定积分??1?x??dx. 例7 求不定积分
??2????2edx.
xx1?x?x2例8 求不定积分dx. 例9 求不定积分
x(1?x2)??1?x21?x4dx.
x4例10 求不定积分dx.
1?x2?例11求下列不定积分: (1)tan2xdx?(2)sin2?xdx. 2例12 求满足下列条件的F(x).F?(x)?例13 求满足下列条件的F(x).F?(x)?1?x1?x3,F(0)?1.
cos2x???F,????1.
sin22x?4??1,0?x?1例14 已知f?(lnx)??, 且f(0)?0, 求f(x).
?x,1?x???课堂练习
1.求下列不定积分
1?x(1)3dx;x?4?ex?2?32x(2).
3x??1,x?0?2.符号函数f(x)?sgnx??0,x?0在(??,??)内是否存在原函数? 为什么?
??1,x?0?第二节 换元积分法
内容要点
一、第一换元积分法(凑微分法)
?g[?(x)]??(x)dx??g(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C.
二、常用凑微分公式
积分类型1.f(ax?b)dx?2.f(x)x换元公式(a?0)u?ax?bu?x?u?lnxu?exu?axu?sinxu?cosxu?tanxu?cotxu?arctanx?1a?f(ax?b)d(ax?b)1????1dx???f(xx?)d(x)(??0)?第一换元积分法??f(lnx)d(lnx)4..?f(e)?edx??f(e)de15.?f(a)?adx?f(a)dalna?6.?f(sinx)?cosxdx??f(sinx)dsinx7.?f(cosx)?sinxdx???f(cosx)dcosx8.?f(tanx)secxdx??f(tanx)dtanx9.?f(cotx)cscxdx???f(cotx)dcotx110.?f(arctanx)dx??f(arctanx)d(arctanx)1?xxxxxxxx22213.f(lnx)?dx?x11.f(arcsinx)?11?x2dx??f(arcsinx)d(arcsinx)u?arcsinx?
三、第二换元法
?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C?F[?(x)]?C,
注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有
x2?a2, x?asect.
1d)当有理分式函数中分母的阶较高（高二次以上）时, 常采用倒代换x?.
t 四、积分表续
a)
a2?x2, x?asint; b) x2?a2, x?atant; c)
例题选讲
例1
??(2x?1)10dx. 例2
1?3?2xdx.
1a注: 一般情形:f(ax?b)dxax?b?u例3 例5
xexdx 例4
2??f(u)du.
12222?x1?xdx. 注: 一般情形:?xf(x)dxx?u?f(u)du.
?11dx. 注: 一般情形: f(lnx)dx?f(lnx)d(lnx).
x(1?2lnx)x例6 求下列不定积分 (1) 注: 一般情形:
?e3xxdx; (2)
?tanxxdx.
?f(x)1xdx?2f(x)d(x).
?例7 求下列不定积分: (1)
1?x2?8x?25dx.
1sin1例8 求下列不定积分:(1) ?dx; (2) ?2xdx. x1?ex1?a2?x2dx; (2)
注: 一般情形: 例9
?f(ex)exdx??f(ex)d(ex);
??1?1?1??1?f??2dx??f??d??. ?x?x?x??x???sin2xdx.
325sinxdxsinx?cosxdx. ; (2) ??注: 一般情形: f(sinx)cosxdx?f(sinx)d(sinx); f(cosx)sinxdx??f(cosx)d(cosx). 例10 求下列不定积分:(1) 例11 求下列不定积分 (1)例12
注: 当被积函数是三角函数的乘积时，折开奇次项去凑微分.
?cosxdx;
2 (2)?cos4xdx.
?1dx. 例13 22x?a?12x?3?2x?1dx.
?cscxdx; (2) ?secxdx.
例15 求下列不定积分: (1) ?secxdx; (2) ?tanx?sec1例16 ?dx. 例17 求?cos3xcos2xdx..
1?sinx例14 求下列不定积分: (1)
653xdx.
例18 例20
?sinx?cosx3sinx?cosxdx. 例19
???cosx2?co2sxx2?1dx. x4?1dx.
??11?xlndx. 例21 1?x21?xln(x?1?x2)dx. 例23 1?x21dx (a?0). 例25 22x?a例22 例24
a2?x2dx (a?0).
??2ex1?e2xdx.
例26
x?a注: 以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下: 当被积函数中含有
x2?a2,可令x?asect.
1倒代换 当有理分式的函数中分母的阶较高（高二次以上）时，可采用倒代换x?.
t11例28 例29 dx. dx.742x(x?2)xx?1有理化代换 去掉被积函数根号并不一定要采用三角代换，应根据被积函数的情况来确定采用何种根式有理化代换.
x51例30dx. 例31 求dx.
2x1?x1?e(1)a2?x2,可令x?asint; (2)a2?x2,可令x?atant; (3)?x34?x2dx. 例27?122dx(a?0).
????课堂练习
1.求下列不定积分
x(1)?dx;3(1?x)1(2)?dx;.1?cosx1?x??(3)??1?2?ex;x??1(4)?1xx?12dx
2.设f?(sin2x)?cos2x, 求f(x).
第三节 分部积分法
内容要点
分部积分公式：
?udv?uv??vdu 或 ?uv?dx?uv??u?vdx
n分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常
考虑应用分部积分法(其中m, n都是正整数).
xsinmxesinmxxennmxnxnxcosmxecosmxx(lnx)nnnnx选v/?????????????????
xarcsinmxxarccosmxxarctanmx例题选讲
例1 ?xcosxdx. 例2 ?x2exdx.
例3
??????????????????选u?反三角函数指数函数??幂函数?三角函数??对数函数
?xarctanxdx. 例4
?x3lnxdx.
例5 例7 例9
?exsinxdx. 例6sin(lnx)dx.
??sec3xdx. 例8
?arcsinx1?xdx.
??xarctanx1?x2dx. 例10
?exdx.
例11ln(1?x)dx. 例12 求I?例13
?ex31/3xdx.
?(1?x)arcsin(1?x)2x?x2dx. 例14求In?2?dx,其中n为正整数. 22n(x?a)例15 已知f(x)的一个原函数是e?x, 求xf?(x)dx. 例16
??esinxxcos3x?sinxdx. 例17
cos2x?sinxln(tanx)dx.
例18 例20
?x2exdx. 例19
(x?2)2?xlnxdx.
?lnxdx. 例21 ?xsinxdx. 例22 ?ecosxdx..
x课堂练习
1. 求不定积分
?xsin2xdx; 2. 求不定积分
?e?xsin2xdx.
第四节 有理数函数的积分
内容要点
一、有理函数的积分 1．最简分式的积分
下列四类分式称为最简分式,其中n为大于等于2的正整数.,A、M、N、a、p、q均为常数,且p2?4q?0.
AMx?NMx?NA(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
x?a(x2?px?q)n(x?a)nx2?px?q 2．有理分式化为最简分式的和 二、可化为有理函数的积分
1．三角函数有理式的积分: 由sinx、cosx和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理函数,记为R(sinx,cosx).
2．简单无理函数的积分
求简单无理函数的积分,其基本思想是利用适当的变换将其有理化,转化为有理函数的积分. 下面我们通过例子来说明.
例题选讲
例1 例2
x?3?x2?5x?6dx.
?11. 例3dxdx. 22x(x?1)(1?2x)(1?x)?x2?2x?1dx. 例5 例4 ?(x?1)(x2?x?1)例6
2x3?2x2?5x?5?x4?5x2?4.
sinxdx. x/2x/31?sinx?cosx1?e?e?e11?sinx例8 . 例9dxdx. 4sin3x?sinxsinxxdx例10 dx. . 例11
3sinx?4cosx3x?1?2x?111例12 ?dx. 例13 dx. 3x(1?x)x?x?1dx. 例7 x/6??????例14 例16
?x33x?1dx. 例15
?1xx?1dx. x?1x?1dx. 例17
xx?1?1x?1?x?13dx..
课堂练习
求下列不定积分
x4?1(1)dx;2(x?1)(x?1)
?(2)?dx. 25cosx?4