1. 求微分方程
dycosy的通解. ?dxcosysin2y?xsiny2. 设函数f(x)可微且满足关系式[2f(t)?1]dt?f(x)?1,求f(x).
0?x第四节 可降阶的二阶微分方程
内容要点
一、 y???f(x)型
在方程
y????f(x)dx?C?dx?C
12y???f(x)两端积分，得y???f(x)dx?C1再次积分，得
二、y???f(x,y?)型
令y??p(x), 则y???p?(x)，原方程化为以p(x)为未知函数的一阶微分方程， p??f(x,p).设其通解为p??(x,C1),然后再根据关系式y??p, 又得到一个一阶微分方程分，即可得到原方程的通解y??(x,C1)dx?C2.
三、y???f(y,y?)型
把y暂时看作自变量，并作变换y??p(y), 于是，由复合函数的求导法则有
dy??(x,C1).对它进行积dx?dpdpdydpdp???p.这样就将原方程就化为p?f(y,p).这是一个关于变量y、p的一阶微dxdydxdydy分方程. 设它的通解为y??p??(y,C1),这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解
dy??(y,C1)?x?C2. y???例题选讲
例1求方程y???e例2求方程xy(4)2x?cosx满足y(0)?0,y?(0)?1的特解.
?y(3)?0的通解.
例3 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动. 设力F仅是时间t的函数: F?F(t). 在开始时刻t?0时F(0)?F0, 随着时间t的增大, 此力F均匀的减少, 直到t?T时, F(T)?0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.
2dy2dy例4求方程(1?x)2?2x?0的通解. dxdx例5 求微分方程(1?x)y???2xy?满足初值问题.y2x?0?1, y?x?0?3的特解.
例6 求微分方程xy???2y??1满足y(1)?2y?(1), 且当x?0时，y有界的特解.
例7设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.
例8求方程yy???y??0的通解.
例9 求微分方程yy???2(y??y?)满足初始条件y(0)?1, y?(0)?2的特解.
22课堂练习
1. 求方程y????lnx的通解.
2.一质量为m的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.
第五节 二阶线性微分方程解的结构
内容要点
一、二阶线性微分方程解的结构 二阶线性微分方程的一般形式是
d2ydx2?P(x)dy?Q(x)y?f(x)，其中P(x)、Q(x)及f(x)是自变dx量x的已知函数，函数f(x)称为方程(5.1)的自由项. 当f(x)?0时, 方程成为d2ydy?P(x)?Q(x)y?0，这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，原方程称为二阶非齐次
dxdx2线性微分方程.
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是齐次方程的两个解, 则y?C1y1(x)?C2y2(x)
也是该方程的解，其中C1,C2是任意常数.
定理2 如果y1(x)与y2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解，则y?C1y1(x)?C2y2(x) 就是该方程的通解，其中C1,C2是任意常数.
定理3 设y是非齐次方程的一个特解，而Y是其对应的齐次方程的通解，则y?Y?y? 就是二阶非齐次线性微分方程的通解.
??定理4 设y1与y2分别是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)与
??y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解，则y1?y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x) 的特解.
定理5 设y1?iy2是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?if2(x)的解，其中P(x),Q(x),f1(x),f2(x)为实值函数，i为纯虚数. 则y1与y2分别是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)与y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的
?解.
例题选讲
例1 已知y1?xex?e2x,y2?xex?e?x,y3?xex?e2x?e?x是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：
（1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程；
（3）求此微分方程满足y(0)?7,y?(0)?6的特解.
课堂练习
1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的? (1)ex,xex;22(2)eax,ebx(a?b).
2.给出n阶线性微分方程的n个解, 问能否写出这个微分方程及其通解? 3.已知y1(x)?ex是齐次方程y???2y??y?0的解, 求非齐次方程y???2y??y?1xe的通解. x第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
内容要点
一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
y???py??qy?0 特征方程 r2?pr?q?0, 称特征方程的两个根r1,r2为特征根.
特征方程r2?pr?q?0的根微分方程y???py??qy?0的通解有二个不相等的实根r1,r2有二重根r1?r2r???i?有一对共轭复根1r2???i?y?C1er1x?C2er2xy?(C1?C2x)er1xy?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法. 二、 n阶常系数齐次线性微分方程的解法 n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
y(n)?p1y(n?1)???pn?1y??pny?0 其特征方程为
rn?p1rn?1???pn?1r?pn?0
根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:
特征方程的根是k重根r是k重共轭复根??i?通解中的对应项(C0?C1x???Ck?1xk?1)erx[(C0?C1x???Ck?1xk?1)cos?x?(D0?D1x???Dk?1xk?1)sin?x]e?x
注: n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到n阶常系数齐次线性微分方程的通解为
y?C1y1?C2y2???Cnyn.
例题选讲
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
例1求方程y???2y??3y?0的通解. 例2求方程y???4y??4y?0的通解.
例3求方程y???2y??5y?0的通解. 例4求方程y(4)?2y????5y???0的通解. d4w例5求方程4??4w?0的通解, 其中??0.
dx例6 求下列微分方程的通解.
(1) y?2y?y??0; (2)y?2y?y???2y?0.
例7已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为
y1?ex,y2?xex,y3?cos2x,y4?3sin2x,
?5??3??6?(4)求这个四阶微分方程及其通解.
课堂练习
1.求解下列二阶常系数齐次线性微分方程： (1) y???5y??6y?0； (2) 16y???24y??9y?0； (3) y???8y??25y?0.
2.求方程y(5)?y(4)?2y(3)?2y???y??y?0的通解. 3.求微分方程yy???(y?)2?y2lny的通解.
第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程
内容要点
一、f(x)?Pm(x)e?x型
当f(x)?Pm(x)e?x时，二阶常系数非齐次线性微分方程(7.1)具有形如y*?xkQm(x)e?x 的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次（m次）的多项式，而k按?是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(7.4)式中的k是特征方程的根?的重数（即若?不是特征方程的根，k取0；若?是特征方程的s重根，k取为s）. sx或Pm(x)e?xsin?x型 二、f(x)?Pm(x)e?xco?即要求形如
y???py??qy?Pm(x)e?xcos?x
y???py??qy?Pm(x)e?xsin?x
两种方程的特解.
由欧拉公式知道，Pm(x)e?xcos?x和Pm(x)e?xsin?x分别是 Pm(x)e(??i?)x?Pm(x)e?x(cos?x?isin?x) 的实部和虚部.
我们先考虑方程
y???py??qy?Pm(x)e(??i?)x.
这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过. 假定已经求出方程(7.7)的一个特解，则根据第五节的定理5知道，方程(7.7)的特解的实部就是方程(7.5)的特解，而方程(7.7)的特解的虚部就是方程(7.6)的特解.
方程(7.7)的指数函数e(??i?)x中的??i?(??0)是复数，特征方程是实系数的二次方程，所以??i?只有两种可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的单根. 因此方程(7.7)具有形如
y*?xkQm(x)e(??i?)x的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次（m次）的多项式，而k按?是不是特征
方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(7.8)式中的k是特征方程含根??i?的重复次数.
例题选讲
例1下列方程具有什么样形式的特解?
(1) y???5y??6y?e3x; (2) y???5y??6y?3xe?2x; (3) y???2y??y??(3x2?1)e?x.
例2求方程y???2y??3y?3x?1的一个特解. 例3求方程y???3y??2y?xe2x的通解. 例4 求微分方程y???y?x?ex的通解.
例5 求方程y???2y??y?(6x?4)e?x?1的特解.
例6求方程y????3y???3y??y?ex的通解. 例7 求方程y???y?4sinx的通解. 例8求方程y???y?xcos2x的通解.
例9 设函数y(x)满足y?(x)?1?[6sin2t?y(t)]dt,y(0)?1,求y(x).
02x?x例10求以y?(C1?C2x?x2)e?2x(其中C1,C2为任意常数)为通解的线性微分方程. 例11 已知函数y?e2x?(x?1)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程
y???ay??by?cex的一个特解, 试确定常数a,b与c及该方程的通解.
课堂练习
1.写出微分方程y???4y??4y?6x2?8e2x的待定特解的形式.
2.求微分方程y???y??2x2ex的通解. 3.求微分方程y???6y??9y?excosx的通解. 4. 求微分方程y????y???x2?4x的通解.
第八节 欧拉方程
内容要点
形如xny(n)?p1xn?1y(n?1)???pn?1xy??pny?f(x) 的方程称为欧拉方程, 其中p1,p2,?,pn为常数.
欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同. 作变量替换 x?et 或 t?lnx,
将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(8.1)化为以t为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t换为lnx, 即得到原方程的解.
d 如果采用记号D表示对自变量t求导的运算, 则上述结果可以写为
dtxy??Dy, x2y???D(D?1)y，
x3y????(D3?3D2?2D)y?D(D?1)(D?2)y，
一般地，有
xky(k)?D(D?1)?(D?k?1)y.
例题选讲
1的通解. x例2求欧拉方程x3y????x2y???4xy??3x2的通解.
例1求欧拉方程x2y???xy??6lnx?例3 设有方程 (1?x)y?定的函数y(x).
?x0[2y?(1?x)2y??]dx?ln(1?x),(x?0),y?(0)?0,求由此方程所确
第十节 数学建模—微分方程的应用举例
内容要点
(1) 衰变问题 (2) 追迹问题 (3) 自由落体问题 (4) 弹簧振动问题 (5) 串联电路问题
例题选讲
例1镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t的质量.
例2 碳14(C)是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质.活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数.已测知一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14数量的80％，试求遗体的死亡年代.
例3设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正北行走；甲从乙的左侧O点出发, 始终对准乙以nv0(n?1)的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.
例4一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).
例5设有一个弹簧, 它的一端固定, 另一端系有质量为m的物体, 物体受力作用沿x轴运动, 其平衡位置取为坐标原点(图12-11-3). 如果使物体具有一个初始速度v0?0,那么物体便离开平衡位置, 并在平衡位置附近作上下振动. 在此过程中, 物体的位置x随时 间t变化. 要确定物体的振动规律, 就是要求出函数x?x(t).
如图12-11-7是由电阻R、电感L及电容C（其中R,L,C是常数）串联而成的回路, t?0时合上开关, 接入电源电动势E(t),求电路中任何时刻的电流I(t).
dIQQ根据克希霍夫回路电压定律, 有L?RI??E(t),其中RI为电流在电阻上电降压, 而(Q为
dtCCdI电容器两极板间的电量, 是时间t的函数)为电容在电感上电压降, L则为电流在电感上电压降. 由
dt2dQdQ1dQ电学知, I?这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程. ?Q?E(t)，,于是方程成为L2?RdtCdtdt若当t?0时, 已知电量为Q0和电流为I0,则我们有初始条件: Q(0)?Q0,Q?(0)?I(0)?I0.此时, 能求出方程(11.13)初vi始问题的解.
例6在图7-10-8的电路中, 设 R?40?,L?1H, C?16?10?4F, E(t)?100cos10t
且初始电量和电流均为0, 求电量Q(t)和电流I(t).
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