第一章 随机事件与概率
第一节 随机事件及其运算
1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω
表示基本结果，又称为样本点。
3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表
示，Ω表示必然事件，
?表示不可能事件。
4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系
（1）包含关系：如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事
件B发生，则称A被包含于B，记为A?B;
（2）相等关系：若A?B且B? A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 （3）互不相容：如果A∩B=
?，即A与B不能同时发生，则称A与B互不相容
7、事件运算
（1）事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为 A∪B。 （2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生，记为A∩ B或AB。
（3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为 A－B。用交并补可以
表示为A?B?AB。
（4）对立事件：事件A的对立事件（逆事件），即 “A不发生”，记为A。
对立事件的性质：A?B??,A?B??。
8、事件运算性质：设A，B，C为事件，则有 （1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA
（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC
（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)、 A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB
∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：A?B?A?B A?B?A?B
9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ
称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足：
（1）Ω∈ξ;
(2)若A∈ξ，则对立事件A∈ξ； （3）若An∈ξ，n=1,2，···，则可列并
?Ann?1??ξ 。
10、两个常用的事件域：
（1）离散样本空间?（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；
2
（2）连续样本空间?（如R、R等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步
扩展而成的事件域。
第二节 概率的定义及其确定方法
1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P（A）满足： （1）非负性公理：若A∈ξ，则P(A)≥0； （2）正则性公理：P(Ω)＝1
（3）可列可加性公理：若A,，A2，···，A3互不相容，则有
????P???Ai????P(Ai)?i?1?i?1，
即P(A1?A2???An??)?P(A1)?P(A2)???P(An)??，则称P（A）
为时间A的概率，称三元素（Ω，ξ，P）为概率空间
2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）
它的基本思想是：
（1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行；
（2） 在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，称 fn(A)=
n（A）， 为事件A出现的频率； n（3） 频率的稳定值就是概率；
（4） 当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值。 3、确定概率的古典方法：
它的基本思想是：
（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个； （2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性）； （3） 若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为
P（A）?A所包含的基本事件数k=。 n基本事件总数4、确定概率的几何方法：
它的基本思想是：
（1） 如果一个随机现象的样本空间?充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）
大小可用Sn表示；
（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；
（3） 若事件A为?中某个子区域，且其度量为SA,则事件A的概率为
P（A）=
SA. S?5、确定概率的主观方法：一个事件A的概率P（A）使人们根据经验，对该事件发生的可能
性大小所做出的个人信念。
6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。
第三节 概率的性质：
1、 P(Φ)＝0
2、 有限可加性：若有限个事件A,，A2，···，A3互不相容，则有
????P???Ai????P(Ai)?i?1?i?1，
3、 对立事件的概率：对任一事件A，有P(A)?1?P(A)
4、 减法公式（特定场合）：若A?B,则P(A－B)＝P(A)－P(B)
5、 单调性：若A?B，则P（A）? P（B） 6、 减法公式（一般场合）：对任意两个事件A、B，有P(A－B)＝P(A)－P(AB) 7、 加法公式：对任意两个事件A、B，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
对任意n个事件A1，A2，···，An，有
P(?Ai)??P(Ai)?i?1i?1nn1?i?j?a?P(AiAj)?1?i?j?k?a?P(AAA)???(?1)ijkn?1P(A1A2?An)
8、 半可加性：对任意两个事件A、B，有P（A?B）?P(A)?P(B). 9、 事件序列的极限：
（1） 对ξ 中任一单调不减的事件序列F1?F2???Fn??，称为可列并
??Fn?1?n为极限{Fn}的极限事件，记为
n??limFn??Fn。
n?1（2） 对ξ 中任一单调不增的事件序列E1?E2???En??，称为可列交
?En?1?n为极限{En}的极限事件，记为limEn?n???En?1?n。
若limP(En)?P(limEn),则称概率P是上连续的
n??n??10、 概率的连续性：若P为事件域ξ 上的概率，则P既是上连续的，又是下连续的 11、 若P是ξ上满足P（Ω）=1的非负集合函数，则P是可列可加性的充要条件是P
具有有限可加性和下连续性。
第四节 条件概率
1、条件概率：设A、B是两个事件，若P(A)>0，则称P(A|B)=下，事件A发生的条件概率。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 2、乘法公式：
（1）若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B) （2）若P(A1A2…An-1)>0，则有
P(AB)为事件B发生条件P(B)P(A1A2…An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An?1)。
3、全概率公式：设事件B1,B2,?,Bn互不相容，且
n?Bi?1jni如果P(Bi)?0(i?1,2,?,n)，??，
则对任一事件A有P(A)?··，n。 ?P(B)P(A|B)，i=1,2,·
ii?1P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn) 。
4、贝叶斯共公式：设事件B1，B2，…，Bn互不相容，且
n?Bi?1i??，如果P（A）>0，
P(Bi)?0(i?1,2,?,n),则
P（Bi|A）?P(Bi)P(A|Bi)?P(B)P(A|B)jjj?1n，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。P(Bi)，（i?1，2，…，n），通常叫Bi的先验概率。（i?1，2，…，n），通常称为Bi的后验概率。 P(Bi/A)，
第五节 独立性
1、两个事件的独立性：如果满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的，
简称A与B独立。否则称A与B不独立或相依。
若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有
P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A)
2、若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。
3、多个事件的独立性：设有n个事件A1，A2，···，An，如果对任意的1?
I P(AiAj)?P(Ai)P(Aj)??P(AiAjAk)?P(Ai)P(Aj)P(Ak)? ??????P(AiAjAkAn)?P(Ai)P(Aj)P(Ak)P(An)则称此n个事件A1，A2，···，An相互独立。 4、若n个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立事件后，所得诸事件亦相互独立。 5、试验的独立性：假如实验E1的任一结果（事件）与试验E2的任一结果（事件）都是相互 独立的事件，则称这两个试验相互独立。 6、n重独立重复试验：假如一个试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n 次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果：A与A，则称其为伯努利试验。假如一个伯努利试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n重伯努利试验。 第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量及其分布 1、 随机变量：定义在样本空间Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量。 （1） 离散随机变量：仅取有限个或可列个值的随机变量 （2） 连续随机变量:取值充满某个空间（a，b）的随机变量。这里a可为-∞，b可为 +∞。 2、分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数x，称函数F(x)?P{X?x}为X的分布函数，记为X~F(x)。分布函数具有如下三条基本性质： （1） 单调性：F（x）是单调非减函数，即对任意的x1 ?F(x0)，（2） 右连续性：F（x）是x的右连续函数，即对任意的x0，有lim?F（x）x?x0即F(x0+0)=F(x0)； （3） 有界性:对任意的x，有0≤F(x) ≤1，且F(-∞)=limF(x)=0， x?-?F(+∞)=limF（x）=1 x???可以证明：具有上述三条性质的函数F（x）一定是某一个随机变量的分布函数。 如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X落在区间 (??,x]内的概率 3、离散型随机变量的概率分布列: 若离散型随机变量X的可能取值为xn(n=1,2,…)则