1、 正态分布
(1) 若X的密度函数和分布函数分别为
2（x-?）-2?22（t-?）-2?2p（x）?12π?e，-∞ ?2π?1x-?edt,-∞ 称X服从正态分布，记作X～N（μ，σ），其中参数-∞<μ<+∞，σ>0。 （2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量（服从正态分布的变量）。测量误差就是量具偏差、测量环境的影响、测量技术的的影响等因素随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。 （3） 关于参数μ： ? μ是正态分布的数学期望，即E（X）=μ，称μ为正态分布的位置参数。 ? μ是正态分布的对称中心，在μ的左侧和p（x）下的面积为0.5；在μ的右 侧和p（x）下的面积为0.5；所以μ也是正态分布的中位数 2 ? 若X～N（μ，σ），则X在离μ越近取值的可能性越大，离μ越远取值的可 能性越小 关于参数σ： ? σ是正态分布的方差，即Var（X）=σ； ? σ是正态分布的标准差，σ越小，正太分布越集中；σ越大，正态分布越分 散；σ又称为正态分布的尺度参数 2 ? 若X～N（μ，σ），则其密度函数p（x）在μ±σ处有两个拐点 （4） 标准正态分布：称μ=0，σ=1时的正态分布N（0,1）； 记U为标准正态变量，φ(u)和Φ(u)为标准正态分布的密度函数和分布函数。φ(u)和Φ(u)满足： ? φ(-u)= φ(u) ? Φ(-u)=1- Φ(u)。对u>0, Φ(u)的值有表可查 （5） 标准化变换：若X～N（μ，σ），则U=（X-μ）/σ～N（0,1），其中U=（X-μ）/σ 称为X的标准化变换 （6） 若X～（Nμ，σ），则对任意实数a与b，有P（X≤b）=??2 2 2 2 ?b-???a-??（a ??????P（a （7） 正态分布的3σ原则：设X～N（μ，σ），则P（|X-μ| ，k?1?0.6826?，k?2 Φ(-k)=?0.9545?0.9973，k?3?2、 均匀分布 ?1?,a?x?b，（1） 若X的密度函数和分布函数分别为p(x)??b?a ?0,其他，?0,x?a,??x?aF(x)?,a?x?b, 则称X服从区间（a，b）上的均匀分布，记作X～U ?b?a1,x?b,?（a，b）。 （2） 背景：向区间（a，b）随机投点，落点坐标X一定服从均匀分布U（a，b）。“随 即投点”指：点落在任意相等长度的小区间上的可能性是相等的。 a?b(b?a)2（3） 均匀分布U（a，b）的数学期望和方差分别是E（X）=，Var（X）=。 212（4） 称区间（0,1）上的均匀分布U（0,1）为标准均匀分布，它是导出其他分布随 机数的桥梁 3、 指数分布 （1） ??e??x,x?0,若X的密度函数和分布函数分别为p(x)?? ?0,x?0,?1?e??x,x?0,则称为X服从指数分布，记作X～Exp（λ），其中参F(x)???0,x?0,（2） 数λ>0。 背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击来到的时间X（寿命）服从指数分布。 指数分布Exp（λ）的数学期望和方差分别是E(X)= （3） （4） 1?,Var(X)= 1。 2?指数分布的无记忆性：若X～Exp（λ），则对任意s>0,t>0,有P（X>s+t|X>s）=P(X>t)。 4、 伽玛分布 （1） 伽玛函数：称?（?）= 具有如下性质： ???0x??1e?xdx为伽玛函数，其中参数?>0。伽玛函数 ① ?（1）=1； ② ?（1/2）= ?； ③ ?（?+1）=??（?）； ④ ?（n+1）=n?（n）=n！（n为自然数）。 ?????1??x?xe,x?0,（2） 伽玛分布：若X的密度函数为p(x)???(?)即称X服从伽玛分 ?0,x?0,?布，记作X～Ga（?，λ），其中?>0为形状参数，λ>0为尺度参数。 （3） 背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇 到第k次冲击时即告失效，则第k次冲击来到的时间X（寿命）服从形状参数为k的伽玛分布Ga（k，λ）。 （4） 伽玛分布Ga（?，λ）的数学期望和方差分别为E（X）= ??，Var（X）=2。 ??（5） 伽玛分布的两个特例: ① ?=1时的伽玛分布就是指数分布，即Ga（1，λ）= Exp（λ）。 22 ② 称?=n/2，λ=1/2时的伽玛分布为自由度为n的χ（卡方）分布，记为χ xn??1?122ex,x?0,??nn2 （n），其密度函数为p(x)??22?() ，χ（n）分布的期 2??0,x?0,?望和方差分别是E(X)=n，Var（X）=2n。 （6） 若形状参数为整数k，则伽玛变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和， 即若X～Ga（k，λ），则X=X1+X2+···+Xk是相互独立且都服从指数分布Exp（λ），的随机变量。 5、 贝塔分布 (1) 贝塔函数:称B（a，b）= ?10xa?1(1?x)b?1dx为贝塔函数，其中参数a>0,b>0。贝塔 ?(a)?(b)。 ?(a?b)函数具有如下性质：①B（a，b）= B（b，a）；②B（a，b）= ??(a?b)a?1x(1?x)b?1,0?x?1?(2) 贝塔分布：若X的密度函数为p(x)???(a)?(b)， 则称X ?0,其他，?服从贝塔分布，记作X～Be（a，b），其中a>0,b>0都是形状参数。 (3) 背景：很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、射击的命中率等都是在区间 （0，1）上取值的随机变量，贝塔分布Be（a，b）可供描述这些随机变量之用。 (4) 贝塔分布Be（a，b）的数学期望和方差分别是E(X)?a，a?bVar(X)?ab 2(a?b)(a?b?1)(5) a=b=1时的贝塔分布就是区间（0,1）上的均匀分布，即Be（1,1）=U（0,1）。 6、常见连续分布表 密度函数p（x） 期望 ，方差 2（x-?）-2?2正态分布N(?,?) 2p（x）?12π?e? ?2 -∞ 第六节 随机变量函数的分布 1、 设连续随机变量X的密度函数为PX（x），Y=g（X）。 （1） 若y=g(x)严格单调，其反函数h（y）有连续导函数，则Y=g（X）的密度函数为 ?PX?h?y??h'?y?,a?y?b,PY(y)??， 0,其他，?其中a=min{g(-∞), g(+∞)},b=max{g(-∞), g(+∞)}。 （2） 若y=g(x)在不重叠的区间I1,I2，···上逐段严格单调，其反函数h1（y），h2 （y），···有连续导函数，则Y=g（X）的密度函数为 PY(y)??PX(hi(y))h'i(y)。 i2、 正态变量的线性变换仍为正态变量：若X 正态分布N(?,?2)，则当a≠0时，有Y=aX+b～N(aμ+b,aσ)。 3、 对数正态分布 2 2 ?1?(lnx??)2??exp???,x?0, 则称X服从对2（1） 若X的密度函数为PX(x)??2??x2????0,x?0,?数正态分布，记为X～LN(μ，σ)，其中-∞<μ<+∞，σ>0。 （2） 若X～LN(μ，σ)，则E(X)= 22 2 e???22,Var（X）= 2 e2???2(e?1) ?2（3） 若X～LN(μ，σ)，则 Y=ln X～N(μ，σ) 4、 若X～Ga（?，λ），则当k>0时，有Y= kX～Ga（?，λ/k）。 -1 5、 若X的分布函数FX(x)为严格单调增的连续函数，其反函数FX(x)存在，则Y= FX(X)服 从（0,1）上的均匀分布U（0,1）。 第七节 分布的其他特征数 1、 k阶矩 （1） 称μk=E(X)为X的k阶原点矩。一阶原点矩就是数学期望 k （2） 称?k=E(X-E(X))为X的k阶中心矩。二阶中心距就是方差 （3） 前k阶中心矩可用原点表示，如 k ?1=0；?2=μ2-μ12；?3=μ3-3μ2μ1+2μ13；?4=μ4-4μ3μ1+6μ2μ12-3μ14。 2、 变异系数：称比值C?(X)?Var(X)为X的变异系数。变异系数是一个无量纲的量。 E?X?3、 分位数：设连续随机变量X的分布函数为F（x），密度函数为p(x)。对任意p∈（0.1）， （1） 称满足条件F(xp)??xp??p(x)dx?p的xp为此分布的p分位数，又称下侧p分 ??位数，它把密度函数下的面积一分为二，左侧面积恰好为p； （2） 称满足条件1-F(x)?'p?x'pp(x)dx?p的x'p为此分布的上侧p分位数。 '（3） 分位数与上侧分位数的转换公式：x'p=x1?p,xp=x1?p。 （4） 中位数：称p=0.5时的p分位数x0.5为此分布的中位数。即x0.5满足 F(x0.5)??x0.5??p(x)dx?0.5； （5） 若随机变量X的密度函数p（x）是偶函数，则此分布的p分位数xp满足： xp=x1?p。 （6） 记标准正态分布的p分位数up。因为标准正态分布函数是偶函数，所以 up=-u1?p。 （7） 一般正态分布N(?,?2)的p分位数xp满足：xp=μ+σ×up。 （8） 分布的矩有可能不存在，但连续分布的分位数总存在。p分位数xp总是p的增 函数。 4、 偏度系数 （1）称比值