数列
等差数列
知识梳理
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于 同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，通常用字母 d 表示． 2．等差中项 如果A＝
a＋b
，那么A叫做a与b的 等差中项 2
3．等差数列的单调性
等差数列的公差 d>0 时，数列为递增数列； d<0 时，数列为递减数列； d＝0 时，数列为常数列．
4．等差数列的通项公式
an＝ a1＋(n－1)d ，当d＝0时，an＝ a1 ，an是关于n的 常数 函数；当d≠0时，an＝ dn＋(a1－d) ，an是关于n的 一次 函数，点(n，an)分布在一条以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列 孤立 的点． 5．等差数列的性质
(1)若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an . (2)若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n}也是 等差数列 ，公差为 2d (3)若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n－1＋a2n}也是 等差数列 ，公差为 4d . 如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？ 答 第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到 a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，?.所以 a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d， ?
由此得出：an＝a1＋(n－1)d.
第二种方法：由等差数列的定义知，an－an－1＝d(n≥2)，
等差数列 第1页(共18页)
数列
所以
a2－a1＝da3－a2＝d
4
3
??a－a＝d(n－1)个 ??
?a－a＝d?
n
n－1
将以上(n－1)个等式两边分别相加，可得an－a1＝ (n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d.
典型题讲练
一、等差数列的通项公式
例1 若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 解 设{an}的公差为d.
??a15＝a1＋14d＝8，
方法一 由题意知?解得
??a60＝a1＋59d＝20，
?
?4?d＝15.
64a1＝，15
644
所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
1515
方法二 因为a60＝a15＋(60－15)d，
a60－a1520－84
所以d＝＝＝，
60－1560－1515
4
＝24. 15
总结 方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式an＝am＋(n－m)d求解．
变式训练1 在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值． 解 方法一 设公差为d，
am－ann－m则d＝＝＝－1，
m－nm－n
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
?am＝am＋b＝n，
方法二 设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，则?
a＝an＋b＝m，?n
得a＝－1，b＝m＋n.所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.
二、等差数列的性质
例2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． 解 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15， 所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9， 即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2. 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×
等差数列 第2页(共18页)
数列
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
总结 要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．
变式训练2 成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得 ?(a－3d)＋(a－d)＋(a＋d)＋(a＋3d)＝26，? (a－d)(a＋d)＝40?
?4a＝26，∴?2 解得?2
3a－d＝40.?
d＝??2
13??a＝2，
或?3
d＝－??2.
13??a＝2，
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
三、等差数列的判断
例3 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－
4an－1
(n≥2)，令bn＝
1. an－2
(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．
分析 计算bn＋1－bn＝常数，然后求出bn，最后再由an与bn的关系求出an.
4
(1)证明 ∵an＝4－ (n≥2)，
an－1
4
∴an＋1＝4－a (n∈N*)．
n
1111
∴bn＋1－bn＝－＝－ 4an－2an＋1－2an－2
2－a
nan－2an11
－＝＝.
2(an－2)an－22(an－2)2
1
∴bn＋1－bn＝，n∈N*.
2
11
∴{bn}是等差数列，首项为，公差为. 22
111
(2)解 b1＝＝，d＝. 2a1－22
11n
∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.
222＝
等差数列 第3页(共18页)
数列
1n2＝，∴an＝2＋n. an－22
总结 判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数． ∴
111，，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列． b＋cc＋aa＋b111112
证明 ∵，，是等差数列，∴＋＝. b＋cc＋aa＋bb＋ca＋bc＋a
∴(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)＝2(a＋b)(b＋c) ∴(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)
∴2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2＝2ab＋2ac＋2bc＋2b2 变式训练3 若
∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2成等差数列.
课堂小结
1．证明数列{an}为等差数列的方法
(1)定义法：an＋1－an＝d (d为常数，n≥1)?{an}为等差数列或an－an－1＝d (d为常数，n≥2)?{an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差数列．
(3)通项法：an＝pn＋q (p、q∈R)?{an}是等差数列，只要说明an为n的一次函数，就可下结论说{an}是等差数列．
2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：
a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.
课时作业
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为 ( ) A．24 B．22 C．20 D．－8
a32
2．已知等差数列{an}中，a2＝－9，＝－，则an为 ( )
a23A．14n＋3
B．16n－4
2
C．15n－39 D．15n＋8
a32
解析 ∵a2＝－9，a＝－3，
2
∴a3＝－3×(－9)＝6，∴d＝a3－a2＝15， ∴an＝a2＋(n－2)d＝－9＋(n－2)·15＝15n－39.
3．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是 ( )
等差数列 第4页(共18页)
数列
A．an＝2n－2 (n∈N*) B．an＝2n＋4 (n∈N*) C．an＝－2n＋12 (n∈N*) D．an＝－2n＋10 (n∈N*)
解析
a4＝12，?a2·
由?a2＋a4＝8，?d<0，
?a2＝6，?a1＝8，???? ?a4＝2，?d＝－2，
所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)·(－2)，
得an＝－2n＋10.
4．等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8等于( ) A．45 B．75 C．180 D．300 解析 方法一 设{an}首项为a1，公差为d，
a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝5a1＋20d 即5a1＋20d＝450，a1＋4d＝90，
∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180. 方法二 ∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，
5
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝2(a2＋a8)＝450，
∴a2＋a8＝180.
5．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是 ( )
A．6 B．7 C．8 D．不确定 解析 由an＝a1＋(n－1)d，
40
得41＝1＋(n－1)d，d＝为整数．
n－1则n＝3,5,6,9,11,21,41共7个． 二、填空题
6．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差分别为d1
d1和d2，则d的值为____．
2
1
解析 n－m＝3d1，d1＝3(n－m)．又n－m＝4d2，
1
(n－m)
1d134d2＝4(n－m)．∴d＝1＝3. 2
4(n－m)
?1?
7．已知?a?是等差数列，且
?n?
12
a4＝6，a6＝4，则a10＝______.
5
11111
解析 a－a＝4－6＝2d，即d＝24.
64
等差数列 第5页(共18页)