??X((X?X)?1X?Y)作为结构方程中内生解释变量Y的工具变量，选取??X?Y0000X0作为自己的工具变量。这样使得关于二者参数估计量的正规方程组是不同的，分别
为
X?Y1?X???Y0X0??????0??? ??0?ILS? ?Y0X0????Y1???Y?0X0???Y0?????X0????0????0?
2SLS比较该两个正规方程组发现，后者可以由前者经过初等线性变换得到。而根据代数知识，初等线性变换不影响方程组的解。所以二阶段最小二乘法和间接最小二乘法的参数估计量是等价的。也可以对此进行严格证明。假设
????0? ?????0?ILS即
????0 ?????0?2SLS?1?? ?Y?0?X0???Y0?X0???0??Y0X0????X??Y0X0???1X?
两边同时左乘X???YX0?，有
? X???Y0X0???????Y0?X0??Y?0?X0????1??Y0X0???X?
两边同时右乘Y0 X??X0?，有
??Y0X0??X?Y0?X0?
该式显然成立。所以两种参数估计量是等价的的假设成立。
结论是，对于恰好识别的结构方程，狭义工具变量法、间接最小二乘法和二阶段最小二乘法三种方法是等价的。 6-15．三阶段最小二乘法的步骤
⑴ 用两阶段最小二乘法估计结构方程
~Yi?Zi?i??i （1）
i Zi?Y0?Xi0?
??i0? ?i??i?
??0?得到方程随机误差项的估计值ei。
首先采用OLS估计结构方程中内生解释变量的简化式模型 Y0i?X?i0??i0 得到
?i?X(X?X)?1X?Yi ?i?X? Y000于是
??Y?i Zi0?iX0
??替换(1)中的Zi，进行2SLS的第二阶段估计，得到?i的2SLS估计量 用Zi??(Z??Z?)?1Z??Y ?iiiii和Yi的2SLS估计量
????Z?? Yiii
????y?i1 Yi??????yi2?yin
?计算残差估计值为 ei?ei1??ei2?ein?
??il eil?yil?y? ⑵ 求?的估计量?根据计算公式计算得到：
??(??ij) ??ij? ?ei?ej(n?gi?1?ki)(n?gj?1?kj)
? ??I?? ?⑶ 对方程系统
~Y?Z??? (2)
其中
?Y1??yi1??Y??y?2i2 Y??? Yi???
??????????Yg?yin????为： 应用广义最小二乘法，得到结构参数?的3SLS估计量?????(Z??1Z??1Y????)?1Z????
?1??1???1???(Z?(??I)Z)Z?(??I)Y至此，完成了三阶段最小二乘法估计，同时得到所有方程的结构参数估计量。
3SLS估计量比2SLS估计量更有效。3SLS方法主要优点是考虑了模型系统中不同结构方程的随机误差项之间的相关性。将3SLS估计量和2SLS估计量的分布进行比较，并根据Gauss-Markov定理，即可清楚看到这点。但是这是对大样本而言。对于有限样本情况下3SLS估计量和2SLS估计量的有效性比较，无法从数学上加以证明，可以通过Monte Carlo试验进行统计上的说明。
6-16．联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：单方程估计方法与系统估计方法。
所谓单方程估计方法，指每次只估计模型系统中的一个方程，依次逐个估计。单方程估计方法主要解决的是联立方程模型系统中每一个方程中的随机解释变量问题，同时尽可能地利用单个方程中没有包含的、而在模型系统中包含的变量样本观测值的信息，没有考虑模型系统方程之间的相关性对单个方程参数估计量的影响。所谓系统估计方法，指同时对全部方程进行估计，同时得到所有方程的参数估计量，利用了模型系统的全部信息。显然，从模型估计的性质来讲，系统估计方法必然优于单方程方法，但从方法的复杂性来讲，单方程方法又优于系统估计方法。 6-17．一个完备的结构式模型可以写成：
?Y??X?? 或
(??)?其中
?Y???? ?X??Y1???1??X1???????YX?2???2??2? Y??? X?? ???
???????????YX????g??g?k用n表示样本容量，则
?Y1??y11y12?y1n?????Yyy?y21222n??2? Y?????
????????Yyy?y?g??g1g2gn??X1??x11????X2??x21? X??????????Xk??xk1x12x22xk2?x1n??x2n?? ???xkn???1???11?12??1n??????????222n??2??21? ???
???????????????g??g1g2gn?参数矩阵为：
??11?12??1g??????2g?2122? ????????????g1g2gg????11?12???2221? ???????k1?k2??1k???2k?? ????kk?(??)为结构参数矩阵。
6-18．简化式模型的矩阵形式为：
Y??X?? (1) 其中
??11?12???2221? ???????g1?g2??1k???2k?? ????gk???1???11?12??1n?????????2n?22122? ?????????????????????gg1g2gn????
?表示简化式参数矩阵。
将结构式模型 ?Y??X?? 作如下变换：
?Y???X??Y????1?X???1??1
与(1)比较，可以得到：
????? (2)
该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称为参数关系体系。 6-19．（1）将题中结构式模型进行变量连续替代后得到
Ct??0??0?1??1?2?1?2?1???1?2t??1?1t ?Yt?1?Gt?1t1??1??11??1??11??1??11??1??1 It??0??1?0??0?1?2??1?2?1?2t??1?2t??1?1t ?Yt?1?Gt?1??1??11??1??11??1??11??1??1?0??0?2???1t1 ?Yt?1?Gt?2t1??1??11??1??11??1??11??1??1?2??1?2?1?2表示Yt?1对It的影响，即Yt?1增加1??2?1??1??11??1??1 Yt?（2）例如?21?个单位时对It的影响。这种影响被分成两部分，其中前一项?2正是结构式方程中反映
Yt?1对It的直接影响的参数，后一项反映Yt?1对It的间接影响。
（3）结构参数矩阵为：
?10??1?1??1 (??)??0???1?11??0??000??200??0? ?1??模型系统中内生变量的数目为g=3，先决变量的数目为k=3。
首先判断第1个结构方程的识别状态。对于第1个方程，有 ??0?0????1??20??10? ??1? R(?0?0)?2?g?1 又因为有：
k?k1?2?g1?1
所以，第1个结构方程为过度识别的结构方程。 再看第2个结构方程，有 ??0?0????10??
?1?1?? R(?0?0)?2?g?1 所以，该方程可以识别。并且
k?k2?1?g2?1
所以，第2个结构方程为恰好识别的结构方程。 第3个方程是平衡方程，不存在识别问题。 综合以上结果，该联立方程模型是可以识别的。
6-20．间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构方程的参数估计，因为只有恰好识别的结构
方程，才能从参数关系体系中得到唯一一组结构参数的估计量。 6-21．对于联立方程模型?Y??X??