??0?的第1个结构方程 Y1?(Y0,X0)????1 (1)
??0?由于内生解释变量Y0是随机变量，不能直接采用普通最小二乘法。但是对于Y0的简化式方程，即简化式模型
Y0?X?0??0
中的每个方程，不存在随机解释变量问题，可以直接采用普通最小二乘法估计其参数，并得到关于Y0的估计值：
??X((X?X)?1X?Y) ??X?Y000这就是二阶段最小二乘法的第一阶段，即对简化式方程第一次使用普通最小二乘法。
?替换(1)中的Y，得到新的方程 用Y0的估计量Y00??0?? Y1?(Y0,X0)????1
??0?显然，该方程中不存在随机解释变量问题，可以直接采用普通最小二乘法估计其参数，得到：
??????0??Y0?????0?2SLS??X0????Y0?X0?????1?Y0?X0Y1
?这就是二阶段最小二乘法的第二阶段，即对变换了的结构式方程使用普通最小二乘法。得到的参数估计量即为原结构方程参数的二阶段最小二乘估计量。
2??11R1?12I??1gI???2?I?R??I~212222g?6-22． Cov(?)?? ?????2?I?I?R?g2ggg??g1??1??Rj??j??n?1???j?j1?jn?2?n?2???j? j=1,2…g ????1????jn?1其中g为内生变量数目，n为每个结构方程样本数目。 6-23．（1）将方程写成标准形式：y2??2y3??0??1x1??3x3?u2
?yi?1nn2i?2y3i???0???1x1i???3x3i)x2i x2i??(?i?1n?yi?1n2i?2y3i???0???1x1i???3x3i) ??(?i?1n?yi?1n2i1i?2y3i???0???1x1i???3x3i)x1i x??(?i?1nn?yi?12i?2y3i???0???1x1i???3x3i)x3i x3i??(?i?1（2）用ILS方法估计方程参数，用（C，x1，x2，x3）依次作为（y3，C，x1，x3）
的工具变量
参数估计量的矩阵表达式为
??2?????0??(?C??1?????3?x1x2x3??y3TCx1x3?)?1?Cx1x2x3?y2
T?xj1??yj1??x??y?j2? j=1，2，3 y??j2? j=2，3 其中xj??j??????????x?jn???yjn????（3）用2SLS方法估计方程参数，y3的工具变量为C，x1，x2，x3的线性组合
?3?X((XTX)?1XTy3) y其中X= [C x1 x2 x3] 参数估计量的矩阵表达式为
??2?????0??(?y?3??1?????3?
Cx1x3??y3TCx1?3x3?)?1?yCx1x3?y2
T6-24．（1）内生变量为Mt，Yt；外生变量为Pt和常数项；先决变量为Pt和常数项。
（2）简化式模型为
Mt??0??1?0?2?11?Pt?(u1t?u2t)
1??1?11??1?11??1?11??1?1Yt??0??0?1???11?21Pt?(u1t?u2t)
1??1?11??1?11??1?11??1?1结构式参数与简化式参数之间的关系体系为
?10??0??1?0?2 ?11?
1??1?11??1?1?0??0?1?2?1 ?21?
1??1?11??1?1
?20?（3）用结构式条件确定模型的识别状态； 结构参数矩阵为： (??)???1???1??11??0??0??2? ?0?模型系统中内生变量的数目为g=2，先决变量的数目为k=2（包括常数项）。
首先判断第1个结构方程的识别状态。对于第1个方程，有 R(?0?0)?0?g?1
所以，第1个结构方程为不可识别的结构方程。 再看第2个结构方程，有 ??0?0?????2? R(?0?0)?1?g?1 所以，该方程可以识别。并且 k?k2?1?g2?1
所以，第2个结构方程为恰好识别的结构方程。 综合以上结果，该联立方程模型是不可识别的。
（4）第一个结构方程包含了第二个结构方程所未包含的变量Pt，这使得这两个方程的任意线性组合都不能构成与第二个方程相同的统计形式，所以第二个方程是可以识别的；而第二个结构方程没有包含第一个方程中所未包含的变量，这使得这两个方程的某些线性组合能构成与第一个方程相同的统计形式，导致第一个方程不可识别。例如，将两个方程相加并整理，得到：Mt??0??0?1?1?21?Yt?Pt?(u1t?u2t)1??11??11??11??1这与方程一有相同的统计形式。当我们收集了Mt、Yt和Pt的样本观测值进行参数估
计后，很难判断得到的是第一个方程的参数估计量还是新组合方程的参数估计量。 （5）为了使模型可以识别，需要第二个方程包含一个第一个方程所未包含的变量，所以引入滞后一期的国内生产总值Yt?1，模型变为
Mt??0??1Yt??2Pt?u1t Yt??0??1Mt??2Yt?1?u2t
可以判别，此时两个结构方程都是恰好识别的，这样模型是可以识别的。
（6）如前所述，第一个方程式不可识别的，第二个方程是恰好识别的，所以可以用以上三种方法来估计第二个方程。
6-25．下面为一个包含3个方程的中国宏观经济模型。
此模型包含3个内生变量：国内生产总值Y、居民消费总额C和投资总额I；3个先决变量：政府消费（将净出口也包含其中，为了实现数据的平衡）G、前期居民消费总额Ct?1和常数项。完备的结构式模型为：
?Ct??0??1Yt??2Ct?1??1t? ?It??0??1Yt??2t t=1978,1979,…,2002 ?Y?I?C?Gttt?t样本观测值见表1,数据来自《中国统计年鉴》。
表1 中国宏观经济数据 单位：亿元
年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 Y 3605.6 4074 4551.3 4901.4 5489.2 6076.3 7164.4 8792.1 10132.8 11784.7 14704 16466 18319.5 21280.4 25863.7 34500.7 46690.7 58510.5 68330.4 C 1759.1 2005.4 2317.1 2604.1 2867.9 3182.5 3674.5 4589 5175 5961.2 7633.1 8523.5 9113.2 10315.9 12459.8 15682.4 20809.8 26944.5 32152.3 I 1377.9 1474.2 1590 1581 1760.2 2005 2468.6 3386 3846 4322 5495 6095 6444 7517 9636 14998 19260.6 23877 26867.2 G 468.6 594.4 644.2 716.3 861.1 888.8 1021.3 817.1 1111.8 1501.5 1575.9 1847.5 2762.3 3447.5 3767.9 3820.3 6620.3 7689 9310.9 1997 1998 1999 2000 2001 2002 一、模型的识别 结构参数矩阵为：
74894.2 79003.3 82673.1 89340.9 98592.9 107514.2 34854.6 36921.1 39334.4 42895.6 45898.1 48534.5 28457.6 29545.9 30701.6 32499.8 37460.8 42355.4 11582 12536.3 12637.1 13945.5 15234.0 16624.3 0??1?1?1??1 ?????0????1?11??0??00??2000?0?? ?1??首先判断第1个结构方程的识别状态。对于第1个方程，有
?10? ??0?0????
?1?1??
R(?0?0)?2?g?1
所以，该方程可以识别。又因为有：
k?k1?1?g1?1
所以，第1个结构方程为恰好识别的结构方程。 再看第2个结构方程，有 ??0?0????1??2??100? ??1? R(?0?0)?2?g?1 所以，该方程可以识别。并且
k?k2?2?g2?1
所以，第2个结构方程为过度识别的结构方程。 第3个方程是平衡方程，不存在识别问题。 综合以上结果，该联立方程模型是可以识别的。 二、模型的估计
⒈ 用狭义的工具变量法估计消费方程
选取消费方程中未包含的先决变量G作为内生解释变量Y的工具变量，得到结构参数的工具变量法估计量：
?0?582.3662??1?0.274725 ??2?0.432427???582.3662?0.274725CYt?0.432427Ct?1 t ⒉ 用间接最小二乘法估计消费方程