MATLAB6.0数学手册 0)=NaN，若x≠0，则整数部分由fix(A./x)表示，余数C=A-x.*fix (A./x)。允许模x为小数。
7．矩阵逻辑运算
设矩阵A和B都是m×n矩阵或其中之一为标量，在MATLAB中定义了如下的逻辑运算：
（1）矩阵的与运算
格式 A&B或and(A, B)
说明 A与B对应元素进行与运算，若两个数均非0，则结果元素的值为1，否则为0。 （2）或运算
格式 A|B或or(A, B)
说明 A与B对应元素进行或运算，若两个数均为0，则结果元素的值为0，否则为1。 （3）非运算
格式 ~A或not (A)
说明 若A的元素为0，则结果元素为1，否则为0。 （4）异或运算 格式 xor (A,B)
说明 A与B对应元素进行异或运算，若相应的两个数中一个为0，一个非0，则结果为0，否则为1。
例1-57
>> A=[0 2 3 4;1 3 5 0],B=[1 0 5 3;1 5 0 5]
A =
0 2 3 4 1 3 5 0 B =
1 0 5 3 1 5 0 5
>> C1=A&B,C2=A|B,C3=~A,C4=xor(A,B)
C1 =
0 0 1 1 1 1 0 0 C2 =
1 1 1 1 1 1 1 1 C3 =
1 0 0 0 0 0 0 1 C4 =
1 1 0 0 0 0 1 1
1.2.15 符号矩阵运算
1．符号矩阵的四则运算
Matlab 6.x 抛弃了在4.2版中为符号矩阵设计的复杂函数形式，把符号矩阵的四则运算简化为与数值矩阵完全相同的运算方式，其运算符为：加（＋）、减（－）、乘（3）、除（/、\\）等或：符号矩阵的和（symadd）、差（symsub）、乘 (symmul)。
26 第1章 矩阵及其基本运算
例1-58 >>A?sym(?[1/x,1/(x?1);1/(x?2),1/(x?3)]?);
>>B?sym(?[x,1;x?2,0]?)； >>C=B-A >>D=a\\b
则显示：
C=
x-1/x 1-1/(x+1)
x+2-1/(x+2) -1/(x+3) D=
-6*x-2*x^3-7*x^2 1/2*x^3+x+3/2*x^2
6+2*x^3+10*x^2+14*x -2*x^2-3/2*x-1/2*x^3
2．其他基本运算
符号矩阵的其他一些基本运算包括转置（'）、行列式（det）、逆（inv）、秩（rank）、幂（^）和指数（exp和expm）等都与数值矩阵相同
3．将数值矩阵转化为符号矩阵
函数 sym
格式 B=sym(A) %将A转化为符号矩阵B 例1-59
>> A=[2/3,sqrt(2),0.222;1.4,1/0.23,log(3)]
A =
0.6667 1.4142 0.2220 1.4000 4.3478 1.0986 >> B=sym(A)
B =
[ 2/3, sqrt(2), 111/500] [ 7/5, 100/23, 4947709893870346*2^(-52)]
4．符号矩阵的索引与修改
符号矩阵的索引与修改同数值矩阵的索引与修改完全相同，即用矩阵的坐标括号表达式实现。
例1-60 对上例中的矩阵B
>> B(2,3) %矩阵的索引
ans =
4947709893870346*2^(-52)
>> B(2,3)='log(7)' %矩阵的修改
B =
[ 2/3, sqrt(2), 111/500] [ 7/5, 100/23, log(7)]
5．符号矩阵的简化
符号工具箱中提供了符号矩阵因式分解、展开、合并、简化及通分等符号操作函数。 （1）因式分解
函数 factor
格式 factor(s) %符号表达式s的因式分解函数
说明 S为符号矩阵或符号表达式，常用于多项式的因式分解。
9
例1-61 将x -1分解因式 在Matlab命令窗口键入：
syms x
factor(x^9-1)
27 MATLAB6.0数学手册 则显示：ans =
(x-1)*(x^2+x+1)*(x6+x^3+1)
?(1??)x1?2x2?4x3?0?例1-62 问“入”取何值时，齐次方程组?2x1?(3??)x2?x3?0有非0解？
??x1?x2?(1??)x3?0解：在Matlab编辑器中建立M文件：
syms k
A=[1-k -2 4;2 3-k 1;1 1 1-k]; D=det(A)
factor(D)
其结果显示如下：
D =
-6*k+5*k^2-k^3 ans =
-k*(k-2)*(-3+k)
从而得到：当k=0、k=2或k=3时，原方程组有非0解。 （2）符号矩阵的展开
函数 expand
格式：expand(s) %符号表达式s的展开函数
说明：s为符号矩阵或表达式。常用在多项式的因式分解中，也常用于三角函数，指数函数和对数函数的展开中。
例1-63 将(x+1)3、sin(x+y)展开 在Matlab编辑器中建立M文件：
syms x y
p=expand((x+1)^3) q=expand(sin(x+y))
则结果显示为
p =
x^3+3*x^2+3*x+1 q =
sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
（3）同类式合并
函数 Collect
格式 Collect(s,v) %将s中的变量v的同幂项系数合并
Collect(s) % s是矩阵或表达式，此命令对由命令findsym函数返回的默认变
量进行同类项合并。 （4）符号简化
函数 simple或simplify %寻找符号矩阵或符号表达式的最简型 格式 simple (s) % s是矩阵或表达式
[R,how]=simple (s) %R为返回的最简形，how为简化过程中使用的主要方法。 说明 Simple(s)将表达式s的长度化到最短。若还想让表达式更加精美，可使用函数Pretty。
格式 Pretty(s) %使表达式s更加精美
28 第1章 矩阵及其基本运算
11bb2b41cc2c41dd2d4例1-64 计算行列式
aa2a4的值。
在Matlab编辑器中建立M文件：
syms a b c d
A=[1 1 1 1;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^4 b^4 c^4 d^4]; d1=det(A)
d2=simple(d1) %化简表达式d1
pretty(d2) %让表达式d2符合人们的书写习惯 则显示结果如下： d1 =
b*c^2*d^4-b*d^2*c^4-b^2*c*d^4+b^2*d*c^4+b^4*c*d^2-b^4*d*c^2-a*c^2*d^4+a*d^2*c^4+a*b^2*d^4-a*b^2*c^4-a*b^4*d^2+a*b^4*c^2+a^2*c*d^4-a^2*d*c^4-a^2*b*d^4+a^2*b*c^4+a^2*b^4*d-a^2*b^4*c-a^4*c*d^2+a^4*d*c^2+a^4*b*d^2-a^4*b*c^2-a^4*b^2*d+a^4*b^2*c d2 =
(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)*(a+c+d+b) (-d+c)(b-d)(b-c)(-d+a)(a-c)(a-b)(a+c+d+b)
1.2.16 矩阵元素个数的确定
函数 numel
格式 n = numel(a) %计算矩阵A中元素的个数 例1-65
>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8]; >> n=numel(A)
n = 8
1.3 矩阵分解
1.3.1 Cholesky分解
函数 chol
格式 R = chol(X) %如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角
阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。
[R,p] = chol(X) %不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；
若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。
例1-66
>> X=pascal(4) %产生4阶pascal矩阵
X =
1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 >> [R,p]=chol(X)
R =
29 MATLAB6.0数学手册 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 1 3 0 0 0 1 p = 0
1.3.2 LU分解
矩阵的三角分解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
函数 lu
格式 [L,U] = lu(X) %U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=X。
[L,U,P] = lu(X) %U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，
满足LU=PX。
例1-67
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; >> [L,U]=lu(A)
L =
0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 1.0000 0 0 U =
7.0000 8.0000 9.0000 0 0.8571 1.7143 0 0 0.0000 >> [L,U,P]=lu(A)
L =
1.0000 0 0 0.1429 1.0000 0 0.5714 0.5000 1.0000 U =
7.0000 8.0000 9.0000 0 0.8571 1.7143 0 0 0.0000 P =
0 0 1 1 0 0 0 1 0
1.3.3 QR分解
将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。
函数 qr
格式 [Q,R] = qr(A) %求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。
[Q,R,E] = qr(A) %求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式，
R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。 [Q,R] = qr(A,0) %产生矩阵A的“经济大小”分解
[Q,R,E] = qr(A,0) %E的作用是使得R的对角线元素降序，且Q*R=A(:, E)。 R = qr(A) %稀疏矩阵A的分解，只产生一个上三角阵R，满足R'*R =
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