MATLAB6.0数学手册 型稀疏矩阵 —— 迭代法。
1．利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）
方程：AX=b 解法：X=A\\b
?5x1?6x2?x1?5x2?6x3?例1-76 求方程组?x2?5x3?6x4?1?0?0的解。 ??x3?5x4?6x5?0?x4?5x5?1解：
>>A=[5 6 0 0 0
1 5 6 0 0
0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5];
B=[1 0 0 0 1]';
R_A=rank(A) %求秩 X=A\\B %求解
运行后结果如下
R_A = 5 X =
2.2662 -1.7218 1.0571 -0.5940 0.3188
这就是方程组的解。 或用函数rref求解：
>> C=[A,B] %由系数矩阵和常数列构成增广矩阵C >> R=rref(C) %将C化成行最简行
R =
1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 则R的最后一列元素就是所求之解。
?x1?x2?3x3?x4例1-77 求方程组??1?3x1?x2?3x3?4x4?4的一个特解。??x1?5x2?9x3?8x4?0解：
>>A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
>>B=[1 4 0]';
>>X=A\\B %由于系数矩阵不满秩，该解法可能存在误差。
X =[ 0 0 -0.5333 0.6000]’（一个特解近似值）。
若用rref求解，则比较精确：
36 2.2662 -1.7218 1.0571 -0.5940 0.3188
第1章 矩阵及其基本运算
>> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
B=[1 4 0]';
>> C=[A,B]; %构成增广矩阵 >> R=rref(C)
R =
1.0000 0 -1.5000 0.7500 1.2500 0 1.0000 -1.5000 -1.7500 -0.2500 0 0 0 0 0
由此得解向量X=[1.2500 – 0.2500 0 0]’（一个特解）。 2．利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 （1）LU分解：
LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。
则：A*X=b 变成L*U*X=b
所以X=U\\(L\\b) 这样可以大大提高运算速度。 命令 [L，U]=lu (A) 例1-78 解：
2?1??4??A??3?12?b?[2,10,8]?
?1130???>>A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; >>B=[2 10 8]'; >>D=det(A) >>[L,U]=lu(A) >>X=U\\(L\\B)
?4x1?2x2?x3?2求方程组??3x1?x2?2x3?10?11x?3x?812?的一个特解。
显示结果如下：
D =
0 L =
0.3636 -0.5000 1.0000 0.2727 1.0000 0 1.0000 0 0 U =
11.0000 3.0000 0 0 -1.8182 2.0000 0 0 0.0000
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 2.018587e-017. > In D:\\Matlab\\pujun\\lx0720.m at line 4 X =
1.0e+016 * -0.4053 1.4862 1.3511
说明 结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。可以通过A*X验证其正确性。
37 MATLAB6.0数学手册 （2）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：A?R??R 其中R为上三角阵。
方程 A*X=b 变成 R??R*X?b 所以 X?R\\(R?\\b) （3）QR分解
对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR
方程 A*X=b 变形成 QRX=b 所以 X=R\\(Q\\b) 上例中 [Q, R]=qr(A)
X=R\\(Q\\B)
说明 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。
1.4.2 求线性齐次方程组的通解
在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A2X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。
格式 z = null % z的列向量为方程组的正交规范基，满足Z??Z?I。
z?null(A,?r?) % z的列向量是方程AX=0的有理基
?x1?2x2?2x3?x4?0?例1-79 求解方程组的通解：?2x1?x2?2x3?2x4?0
??x1?x2?4x3?3x4?0解：
>>A=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3];
>>format rat %指定有理式格式输出 >>B=null(A,'r') %求解空间的有理基
运行后显示结果如下：
B =
2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1
或通过行最简行得到基：
>> B=rref(A)
B =
1.0000 0 -2.0000 -1.6667 0 1.0000 2.0000 1.3333 0 0 0 0
即可写出其基础解系（与上面结果一致）。 写出通解：
syms k1 k2
38 第1章 矩阵及其基本运算
X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) %写出方程组的通解 pretty(X) %让通解表达式更加精美
运行后结果如下：
X =
[ 2*k1+5/3*k2] [ -2*k1-4/3*k2] [ k1] [ % k2]
下面是其简化形式 [2k1 + 5/3k2 ] [ ] [-2k1 - 4/3k2]
[ ] [ k1 ] [ ] [ k2 ]
1.4.3 求非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。因此，步骤为：
第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步 第二步：求AX=b的一个特解 第三步：求AX=0的通解
第四步：AX=b的通解= AX=0的通解+AX=b的一个特解。
?x1?2x2?3x3?x4?1例1-80 求解方程组??3x1?x2?5x3?3x4?2
??2x1?x2?2x3?2x4?3解：在Matlab中建立M文件如下：
A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2];
b=[1 2 3]'; B=[A b]; n=4;
R_A=rank(A) R_B=rank(B) format rat
if R_A==R_B&R_A==n %判断有唯一解 X=A\\b
elseif R_A==R_B&R_A C=null(A,'r') %求AX=0的基础解系 else X='equition no solve' %判断无解 end 运行后结果显示： R_A = 2 R_B = 3 X = equition no solve 39 MATLAB6.0数学手册 说明 该方程组无解 ?x1?x2?3x3?x4?1?例1-81 求解方程组的通解：?3x1?x2?3x3?4x4?4 ??x1?5x2?9x3?8x4?0解法一：在Matlab编辑器中建立M文件如下： A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0]'; B=[A b]; n=4; R_A=rank(A) R_B=rank(B) format rat if R_A==R_B&R_A==n X=A\\b elseif R_A==R_B&R_A C=null(A,'r') else X='Equation has no solves' end 运行后结果显示为： R_A = 2 R_B = 2 Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 8.8373e-015. > In D:\\Matlab\\pujun\\lx0723.m at line 11 X = 0 0 -8/15 3/5 C = 3/2 -3/4 3/2 7/4 1 0 0 1 ?3/2???3/4??0???????3/27/40?+k2??+?? 所以原方程组的通解为X=k1??1??0???8/15????????0??1??3/5?解法二：用rref求解 A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0]'; B=[A b]; C=rref(B) %求增广矩阵的行最简形，可得最简同解方程组。 运行后结果显示为： C = 1 0 -3/2 3/4 5/4 0 1 -3/2 -7/4 -1/4 0 0 0 0 0 40