命题 真值 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P?Q 1 0 0 1
双条件是数学上考虑最多，也是大家比较熟悉的，可以举出许多例子。例如例1-1-1.14是原子命题xy>0及命题：x和y都大于零用双条件联结词产生的命题，这个命题取值为0。又如，我没有收到信当且仅当没有人给我写信，它的值为1。约定在整数范围内讨论，P：2+2=0，Q：IBM-PC是一种微型计算机，P?Q：2+2=0当且仅当IBM-PC是一种微型计算机，此命题取值为0。
注意：(1) 双条件联结词联系的命题不限定属于同一类事物。 (2) 双条件是一个二元运算。
这五种逻辑联结词也可以称为逻辑运算，与一般数的运算一样，可以规定运算的优先级，我们规定的优先级顺序依次为?，?，?，?，?。如果出现的逻辑联结词相同，又没有括号时，从左到右顺序运算。如果遇到有括号时就先进行括号中的运算。
考察例1-1-1.12．令P：电灯亮，Q：灯泡有毛病，R：线路有毛病，S：停电。则可将该语句符号化为Q?R?S??P。
三、命题运算的真值表
定义 1-1-1.8 在命题公式中，对于分量指派的各种可能组合，即确定了该命题的各种真值情况，把它汇列成表格，就是命题的真值表。
任意给定一个复合命题后，用原子命题和逻辑联结词表出，再利用真值表就可以计算出复合命题的值。当复合命题用原子命题变元、逻辑联结词和括号组成时，可以得出该复合命题变元的真值表。
例1-1-1.22 求P?(P?Q)，P??P，P??P的真值表。 解：
P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P?Q 1 0 0 0 P?(P?Q) 1 1 0 0 P ?P P??P
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 6
P 1 1 0 0 ?P 0 0 1 1 P??P 1 1 1 1 例1-1-1.23 求Q?R?S??P的真值表。 解：
P 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Q 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 R 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 S 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 R?S 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 Q?R?S 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 ?P 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Q?R?S??P 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
例1-1-1.24 求?(P?Q)?? P??Q的真值表。 解：
P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P?Q 1 1 1 0 ?(P?Q) 0 0 0 1 ?P??Q 0 0 0 1 ?(P?Q)??P??Q 1 1 1 1
1-1-1 习 题
1．举出原子命题和复合命题的例子五个以上。 2．将下列命题符号化：
7
(1) 我一边看书一边听音乐。 (2) 天下雨了，我不去上街。
(3) 实函数f(x)可微当且仅当f(x)连续。此命题的真值是什么？ (4) 除非你努力，否则你就会失败。
(5) 合肥到北京的列车是中午十二点半或下午五点五十分开。 (6) 优秀学生应做到思想身体学习都好。 3．求下列各式的真值表
(1) P? (Q??P)。
(2) (P?(Q?R))?((P??R)?Q)。 (3) (P→(Q→P))?( ?P→(P→Q))。 (4) (P→(Q?R))?(P→Q)?(P→R)。 (5) (P→Q)?(R→Q)?(P?R)→Q。 (6) P→(Q→(R→(?P→(?Q→?R))))。 (7) ?P?Q。
4．设命题A1，A2的真值为1，A3，A4两命题的真值为0，求下列命题的真值：
(1) (A1?(A2?A3))??((A1?A2)?(A3?A4))。
(2) ?(A1?A2)??A3?(((?A1?A2)??A3)?A4)。 (3) ?(A1?A2)??A3?((A3??A1)?(A3??A4))。 (4) (A1?(A2?(A3??A1)))?(A2??A4)。 5．将下列语句符号化：
(1) 占据空间的，有质量而且不断变化的称之为物质。 (2) 占据空间的，有质量者称为物质，而物质是不断变化的。 (3) 如果你来了，那么他唱歌与否要看你是否伴奏而定。 (4) 我们不能既划船又跑步。
8
§1-1-2 命题公式与真值函数
由命题变元，括号，逻辑联结词按下列规定形成的符号串是我们讨论的对象。 一、命题演算公式
定义 1-1-2.1 由命题变元，逻辑联结词和括号构成的下述表达式称为命题合式公式（well —formed formula）或命题演算公式，简称公式，记为wff： (1) 单个原子命题变元是wff ； (2) 若P，Q是wff ，则 (?P),(P?Q),(P?Q),(P?Q),(P?Q)都是wff ；
(3) 只有有限次使用(1),(2)得到的表达式才是wff 。
为了书写和输入计算机，以及进行运算方便起见，规定：(1) (?P)的括号，整个wff的最外层括号可以省略，(2) 已定好逻辑联结词的优先级后，优先级的括号可省略。
?(P?Q),P??Q,P?(P?Q),(P?Q)?R,(P?Q)?(Q?R)?(P?R)等都是wff。但RS?T,?P?Q)?(Q?P)就不是wff，因为前一表达式R与
S之间没有逻辑联结词，后一表达式中括号不配对，故不符合定义1-1-2.1。
按BNF（Backus—Naur Form）符号，wff的语法定义为：wff：：=<命题>|?<命题> |<命题> <二元运算符> <命题>
<二元运算符>：：=?|?|?|?， <命题>：：=〈原子公式〉| {〈wff 〉} *
定义 1-1-2.2 令A为wff，对A中出现的全部原子命题变元P1，P2，?，Pn分别赋以真值0或1所得到的一组真值（n个）称为A的一个指派或解释。
从§1-1-1的例1-1-1.22～1-1-1.24可以看出，对命题变元作指派，再利用逻辑联结词的真值表（即逻辑运算规则）可以演算出wff的真值表。
下面再看几个例子。
例1-1-2.1 求(P→Q)?(Q→P)的真值表。
9
解：
P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P?Q 1 0 1 1 Q?P 1 1 0 1 (P?Q)?Q?P） 1 0 0 1 例1-1-2.2 (P→Q)?P→Q的真值表为 解：
P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P?Q 1 0 1 1 (P?Q)?P 1 0 0 0 (P?Q)?P?Q 1 1 1 1 例1-1-2.3 (P→Q)?(P??Q) 的真值表为
P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P?Q 1 0 1 1 P??Q 0 1 0 0 (P?Q)?(P??Q) 0 0 0 0 二、真值函数
定义 1-1-2.3 以{真，假}为定义域和值域的函数为真值函数。 如由五个逻辑联结词产生的所有wff都是真值函数，因此有无穷多个真值函数，显然最基本而重要的真值函数还是 ?P,P?Q,P?Q,P?Q,P?Q 。 当真值函数的变元为n个时，共有2n个指派。通过列出真值表也可以定义真值函数。
例1-1-2.4 确定下列真值表对应的真值函数：
P 1 1 1 1 0 0 0 0
Q 1 1 0 0 1 1 0 0 R 1 0 1 0 1 0 1 0 f1 (P , Q , R) 1 0 1 1 0 0 1 0 10
f2 (P , Q , R) 1 0 0 0 0 0 0 1