以f1（P，Q，R）来考虑，表的第一行说明f1的值为1，且指派中P，Q，R都取值为1，可用项P∧Q∧R，表示，表的第三行说明f1的值为1，此时指派中P，R取值为1，Q取值为0，即?Q取值为1，可用P??Q?R表示，此时P，Q，R的其它指派都使P?Q?R，或P??Q?R为0，同理可用
P??Q??R,?P??Q?R分别表示表第四、七行的1，
故f1（P，Q，R）
=(P?Q?R)?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(?P??Q?R)(*) 同理 f2（P，Q，R）= (P?Q?R)?(?P??Q??R)。
注意： 由真值表确定的真值函数不一定是最简单的wff，不一定只有一个表达式。
例如：
P 1 1 1 1 0 0 0 0 Q 1 1 0 0 1 1 0 0 R 1 0 1 0 1 0 1 0 P?R 1 0 1 0 0 0 0 0 ?R 0 1 0 1 0 1 0 1 P??Q 0 0 1 1 0 0 0 0 ?Q?R (P?R)?(P??Q)?(?Q?R) 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 将这个真值表与f1（P，Q，R）的真值表相比较，对变元的任一指派，可以看到(P?R)?(P??Q)?(?Q?R)与（*）这两个表达式可代表同一个真值函数，而此两式相比，(*) 就不是最简单的wff 。 三、重言式与矛盾式
我们注意到例1-1-2.2，1-1-2.3和例1-1-2.1，1-1-2.4。对命题变元无论作什么样的指派，例1-1-2.2中的wff永远取值为1，这种类型的wff称为重言(永真)式；例1-1-2.3中的wff永远取值为0，这种类型的wff称为矛盾（永假）式；而例1-1-2.1，1-1-2.4中的wff则对有的指派取值为1。对另外指派又取值为0，这种类型的wff称为可满足公式。显然重言式（或永真函数）是可满足公式，矛盾式是不可满足公式。
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定义 1-1-2.4 对wff的命题变元无论作什么指派，公式均取值1时，称之为重言式，记为T；公式均取值0时称之为矛盾式（或不可满足式），记为F。若有指派使wff取值1，则称该公式为可满足公式。
定理 1-1-2.1 任意两个重言（矛盾）式的合取或析取仍然是一个重言（矛盾）式。
由定义1-1-2.4及析取、合取的真值表立即可以证明此定理。
1-1-2 习 题
1． 下列符号串哪些是合式公式？哪些是重言式或矛盾式？哪些是可满足公
式？
(1) ?(P?Q) ； (3) P?P?Q ；
(2) P?Q ；
(4) (?P?Q)?(P?Q)；
(5) (P?Q)?((P?Q)?(Q?P))； (6) (?P?Q)?(P??Q)。 2． 用真值表证明下列各式为重言式：
(1)(P?Q)?R?P?(Q?R); (2)(P?Q)?R?P?(Q?R); (3)P?(P?Q)?P;
(4)P?(P?Q)?P;
(5)P?(R?Q)?(P?R)?(P?Q); (6)P?(R?Q)?(P?R)?(P?Q);
(7)P??P?F,P??P?T; (8)P?Q?P,P?Q?Q; (9)P?P?Q,Q?P?Q; (10)?P?(P?Q); (11)Q?(P?Q); (12)?(P?Q)?P; (13)?(P?Q)??Q; (14)?Q?(P?Q)??P;
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(15)?P?(P?Q)?Q;
(16)(P?Q)?(Q?R)?(P?R); (17)(P?Q)?(P?R)?(Q?R)?R;
(18)(P?Q)?(R?S)?((P?R)?(Q?S))； (19)(P?Q)?(Q?R)?(P?R)； (20)(P?Q)?(Q?P),(P?Q)?(Q?P)。
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§1-1-3 公式的等价与蕴涵
在§1-1-2中我们已经看到真值函数f1(P,Q,R) 的表达式有：
(P?Q?R)?(P??Q?R)?(P??Q??R)?(?P??Q?R) 或
(P?R)?（P??Q)?(?Q?R)，又如P?Q和?P?Q代表同一真值函数，对同
一真值函数的几个不同的wff 有下面的定义。
定义 1-1-3.1 设P1，P2，?，Pn为出现在两个wff A和B中的原子命题变元。如果对P1，P2，?，Pn的任意真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B逻辑相等或说A和B等价，记为A?B或（A?B）。
例如 ?P?Q?P?Q ，用真值表和定义1-1-3.1可以得到下列基本等价式：
(1)??P?P; (对合律)
(2)P?P?P,P?P?P; (幂等律) (3)P?Q?Q?P,P?Q?Q?P; (交换律)
(4)P?(Q?R)?(P?Q)?R,P?(Q?R)?(P?Q)?R; (结合律)
(5)P?(Q?R)?(P?Q)?(P?R),P?(Q?R)?(P?Q)?(P?R);(分配律)
(6)P?(P?R)?P,P?(P?R)?P; (吸收律)
(7)?(P?Q)??P??Q,?(P?Q)??P??Q; (德.摩根律) (8)P?F?P,P?T?P; (同一律) (9)P?T?T,P?F?F; (零一律) (10)P??P?T,P??P?F; (否定律)
(11)P?Q??P?Q; (条件等价式)
(12)P?Q?(P?Q)?(Q?P)。 (双条件等价式)
当wff中出现的原子命题变元很多时，用真值表和定义1-1-3.1来判断两个wff是否等价就显得麻烦，因而可利用上述基本等价式和下面的定理1-1-3.1就可以得到一些复杂的等价式。
定义 1-1-3.2 若wff X 是wff A的子串，则称X为A的子公式。
定理 1-1-3.1 X是wff A的一个子公式，wff Y与X等价，则将A中的X用Y来代替所得的wff B，必有A与B等价（替换规则）。
证明: 因为在命题变元的任意指派下X与Y的真值相同，故用Y代替X后所
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得的wff B与A在任意相应的指派下也有相同的真值，故A与B等价。
例1-1-3.1 由吸收律和替换规则可知
Q?(P?(P?Q))?Q?P
例 1-1-3.2 证明((P?Q)?R)?((R?P)?(S?P))?T 证明: ((P?Q)?R)?((R?P)?(S?P))
?((?P?Q)?R)?((?R?P)?(?S?P)) ?(?(?P?Q)?R)?(?(?R?P)?(?S?P)) ??(?(?P?Q)?R))?(?(?R?P)?(?S?P)) ?((?P?Q)??R)?(R??P)?(?S?P)
?((?P??R)?(?R?Q))?(?P?R)??S?P ?((?P??R)?(?P?R))?(?R?Q)??S?P ?(?P?((?R?R))?(?R?Q)??S?P ?(?P?T)?(?R?Q)??S?P ?(?P?P)?(?R?Q)??S
?T?(?R?Q)??S ?T
定理 1-1-3.2 在一个重言（矛盾）式中对同一命题变元都用任意一个wff去替换，仍可得一个重言（矛盾）式。
证明: 因为重言（矛盾）式的真值永为1（0），与变元的指派无关，故对同一变元用任一wff 替换后，其值仍为1（0），所以结果为一个重言（矛盾）式。
例1-1-3.3 因为P??P?T，P??P?F，当P以某 wff 替换后仍为重言(矛盾)式，例如P以(Q?R)?S去代替，则有
((Q?R)?S)??((Q?R)?S)?T ((Q?R)?S)??((Q?R)?S)?F
定理1-1-3.3 合式公式A和B等价当且仅当A?B为重言式。
证明: 必要性：若A与B等价，则对出现在A，B中的原子命题变元的任意指派A和B有相同的真值，即A?B永远取值1，即A?B为重言。
充分性：若A?B为重言（矛盾）式，则无论任何指派A?B均取值1，即
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