序列A1,A2,?,An,B(Ai?S), B是A1,A2,?,An,的逻辑结果，因而由定义1-1-4.2得证S演绎出B。
必要性：设S演绎出B，则存在公式的有限序列A1,A2,?,An其中A n=B且Ai?S或Ai是A1,A2,?,Ai?1中某些公式的逻辑结果。
下面用归纳法证明，因为，A1?S且A1?A1，故A1是S的逻辑结果（归纳基础）。设Ai (i Aj1?Aj2 ???Ajl ?An (1-1-4.1) 其中j1?n,j2?n,?,jl?n。由归纳假定Aj1,Aj2,?,Ajl都是S的逻辑结果，即 S?Aj1,S?Aj2,?,S?Ajl 由§1-1-3蕴涵的性质5得Aj1?Aj2???Ajl是S的逻辑结果，即 S?Aj1?Aj2???Ajl (1-1-4.2) 由(1-1-4.1)和(1-1-4.2)式及蕴涵的传递性得S?An，而An =B，故S?B，即B是S的逻辑结果。 定理1-1-4.3 设S为前提公式集合，B和C是两个公式，若S∪{B}演绎出C，则S演绎出B→C。 证明：设S={A1, A2, ?, A n},因为S∪{B}演绎出C，则C是S∪{B}的逻辑结果，即(A1?A2 ???A n) ?B?C。由定理1-1-4.1得A1?A2 ???A n? B? C 。 定理 1-1-4.3和基本等价式及基本蕴涵式是论证演绎的根据，故在演绎推导过程中必须遵循下列推理规则： P规则：在推演过程中可以随便使用前提。 T规则：在推演过程中可以任意使用前面演绎的某些公式的逻辑结果，当借 助于等价式记为TE，当借助于蕴涵式时记为TI。 CP规则：如果需要演绎出的公式为B→C形，那么将B作为附加前提，设法演绎出C来。 P规则和T规则的依据是定义1-1-4.2，CP规则的依据是定理1-1-4.3。 当然，论证的方法是前变万化的，除使用真值表方法以外，基本的方法就是：直接证法：由一组前提和P规则，T规则演绎出有效结论；另一方法是间接证法：(1)由一组前提和P规则，T规则，CP规则演绎出有效结论；(2)反证法， 21 否定结论后作为附加前提，利用P规则和T规则得出矛盾式。 定义1-1-4.3 设P1，P2 ，?，P n 是A1，A2 ，?，A m 中出现的原子命题变元，若对P1，P2 ，P3 ?，Pn 的一些真值指派，A1 ?A2 ?…?Am 取值为1，则称A1，A2，?，A m 是相容的，若对P1，P2，P3 ?，Pn 的任何指派，A1 ?A2 ?…?Am 取值为0，则称A1，A2 ，?，A m 是不相容的（矛盾的）。 定理1-1-4.4 A1 ?A2 ???A m ? B 当且仅当A1，A2 ，?，Am ，?B是不相容的。 证明: A1 ?A2 ???A m ? B 当且仅当A1 ?A2 ???A m ?B ?T（重言式）， 当且仅当?(A1 ?A2 ???A m )?B?T， 当且仅当A1 ?A2 ???Am ??B?F(矛盾式)， 当且仅当A1，A2 ，?，A n，?B是不相容的。 下面给出利用上面的推理理论来论证若干实例。 例1-1-4.1 证明R→S是{ P→(Q→S)，?R∨P，Q }的逻辑结果。 证明： (1) ?R?P P (2) R P( 附 加 前 提) (3) P T (1)(2) I (4) P→(Q→S) P (5) Q→S T(3)(4)I (6) Q P (7) S T(5)(6) I (7) R→S CP (2)(7) 例1-1-4.1 的这种书写方法写出了演绎的公式序列和使用的规则，便于复核检查推演的过程，以下都采用这样的书写方法。 例1-1-4.2 (P?Q)?(P→R) ?(Q→S)? S?R 证明: (1) P?Q P (2) ?P→Q T(1)E 22 (3) Q→S P (4) ?P→S T(2)(3)I (5) ?S→P T(4)E (6) P→R P (7) ?S→R T(5)(6)I (8) S?R T(7)E 或者 (1) P→R P (2) P?Q→R?Q T(1)I (3) Q→S P (4) R?Q→R?S T(3)I (5) P?Q →R?S T(2)(4)I (6) P?Q P (7) R?S T(5)(6)I 这个例子说明：从前提演绎出公式时的有限序列不是唯一的，将两种演绎步骤直观地分别表示为下面的两个图： （1） （1） （3） （2） （3） （2） （4） （4） （5） （6） （5） （6） （7） （7） （8） 图1-1-4.1 例1-1-4.2采用的是直接证法。 例1-1-4.3 证明S={A→B，?(B?C)}演绎出 ?A。 证明： (1) A→B P (2) A P （附加前提） (3) ?(B?C） P (4) ?B??C T(3)E 23 (5) B T(1)(2)I (6) ?B T(4)I (7) B??B?F T(5)(6)E (8) ?A 定理1-1-4.4 例1-1-4.4 用间接证法证明例1-1-4.2。 证明: (1) ?(S?R) P（附加前提） (2) ?S??R T(1)E (3) P?Q P (4) ?P→Q T(3)E (5) Q→S P (6) ?P→S T(4)(5)I (7) ?S→P T(6)E (8) ?S??R→?R?P T(7)I (9) ?R?P T(2)(8)I (10) P→R P (11) ?P?R T(10)E (12) ?(P??R） T(11)E (13) (P??R)??(P??R)?F T(9)(12)E (14) S?R 定理1-1-4.4 例1-1-4.5 “如果下雨，春游就改期，如果没有球赛，春游就不改期。结果没有球赛，所以没有下雨”，证明这是有效的论断。 证明： 令A：天下雨 B：春游改期 C：没有球赛。 符号化题中各语句得 S={ A→B，C→ ?B，C }，S??A。 (1) A→B P (2) C→?B P (3) B→?C T(2)E (4) A→?C T(1)(3)I (5) C→?A T(4)E (6) C P (7) ?A T(5)(6)I 例1-1-4.6 如果学生学习努力，他们的父亲或母亲就高兴，若母亲高 24 兴，学生就不努力学习，若老师只表扬学生，学生的父亲就不高兴，故如果学生学习努力，老师就不是只表扬学生。试证这是有效的结论。 证明: 令A：学生学习努力；B：学生的父亲高兴；C：学生的母亲高兴；D：老师只表扬学生。则问题符号化为： A→B?C，C→ ?A，D→?B?A→?D (1) D→?B P (2) B→?D T(1)E (3) C→?A P (4) A→?C T(3)E (5) A→(B?C) P (6) A→(?C→B) T(5)E (7) A P(附加前提) (8) ?C T(4)(7)I (9) ?C→B T(6)(7)I (10) B T(8)(9)I (11) ?D T(2)(10)I (12) A→?D CP 例1-1-4.7 证明下列命题是不相容的：如果他因病缺课，那么他考试不及格，如果他考试不及格，他就受不到教育。若他读了许多书，则他受到了教育，但是，虽然他因病缺课，他还是读了许多书。 证明 令 P：他因病缺课，Q：他考试不及格，R：他受不到教育，S：他读了许多书。则问题符号化为 ｛P→Q，Q→R，S→?R，P?S｝?F 。 现证之。 (1) P→Q P (2) Q→R P (3) P→R T(1)(2)I (4) S→?R P (5) R→?S T(4)E (6) P→?S T(3)(5)I (7) ?P??S T(6)E (8) ?(P?S) T(7)E 25