过关演练
2（?x3）1．（长宁2014二模2）化简的结果是（ ）
A．x5；
B．x6； C．?x5； D．?x6．
2．（宝山2014一模7）计算(a?1)(a?1)的结果是 ． 3．（徐汇2012二模3）如果a?2b?3，那么6?2a?4b的值是( ) ．
A． 3； B． 2；
C． 1； 4．（闸北2014二模8）计算：x4n?xn? ．
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6
D． 0．
2.2 因式分解的意义，因式分解的基本方法
知识梳理
1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a?b)(a?b)?a2?b2． 2．完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即：
(a?b)2?a2?2ab?b2，(a?b)2?a2?2ab?b2．
3．平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式．
4．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 5．一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．
6．如果一个多项式各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式．这种分解因式的方法叫做提取公因式法．
7．提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．
8．逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法，由平方差公式反过来可得
a2?b2=(a?b)(a?b)．这个公式叫做因式分解的平方差公式．同理由乘法公式中的完全平方公式反过来
可得a2?2ab?b2=(a?b)2，a2?2ab?b2=(a?b)2．这两个公式叫做因式分解的完全平方公式． 9．由多项式与多项式相乘的法则，可知(x?a)(x?b)?x2?(a?b)x?ab．反过来可得如果二次三项式x2?px?q中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)．
而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2?px?q就可以进行如下的因式分解，即
x2?px?q?x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)．
10．利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
11．利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法． 【总结】注意理解因式分解的意义； 注意因式分解四种方法的灵活运用，特别是十字相乘法的基本步骤需要理解．
例题精讲
【题型三·因式分解的概念】
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7
【例1】（静安2013二模1）下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（ ）
A．x2?2?(x?2)(x?2)； B．(x?2)(x?2)?x2?2；
C．x?4?(x?2)(x?2)； D．(x?2)(x?2)?x?4．
【参考答案】A．
【题型四·因式分解】
【例1】普陀2014二模8）分解因式：2a?8a? ． 【参考答案】2?a?2??a?2? .
【例2】（虹口2014二模8）分解因式：x2?4(x?1)? ． 【参考答案】(x?2)2 ．
【例3】（长宁2014二模8）分解因式：x2y2?9? ． 【参考答案】?xy?3??xy?3?．
【例4】（静安、青浦、崇明2014二模8）分解因式：x2?2x?1? ． 【参考答案】(x?1?2)(x?1?2)．
3过关演练
1．（黄浦2013二模8）分解因式：x?x?x?1? ． 2．（普陀2013二模9）分解因式：27x?18x?3? ．
232
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2.3分式的有关概念及其基本性质，分式的加、减、乘、除法则，
整数指数幂，分数指数幂
知识梳理 1．两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为的分子，B叫做分式的分母．
2．分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即
AA．如果B中含有字母，那么叫做分式，A叫做分式BBAA?MA?N，其=?BB?MB?N中M、N为整式，且B≠0，M≠0，N≠0．
3.把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式．
4．化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数、相同因式的最低次幂．如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分．化简分式时要将分式化成最简分式或整式． 5．两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母．分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用式子表示为：
ACACACADAD,????． ??BDBDBDBCBC6．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
7．异分母分式相加减，先将它们化为相同分母的分式，然后进行加减．将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分．
mmm8．整数指数幂：aman=am?n（m、n为整数，a≠0）；(ab)=abm（m、n为整数，a≠0，b≠0）；(amn)=na（m、n为整数，a≠0）．
9．分数指数幂：a=a（a≥0），nmmn1nam=a?mn（a＞0），其中m、n为正整数，n＞1．整数指数幂和分数
ap?aq=ap?q，指数幂统称为有理数指数幂．有理数指数幂的运算性质：设a＞0，b＞0，p、q为有理数，那么（1） a?a=apqp?qapap，（2）(a)=a，（3）(ab)=ab，()=p．
bbpqpqppp 【总结】理解分式的运算与分数运算的异同，注意分式运算中分式基本性质的运用； 有理数指数幂的运算公式要加强熟练运用，特别是同底数幂的运算．
例题精讲
【题型五·分式的概念与计算】
【例1】（杨浦2013二模1）下列式子属于分式的是（ ）
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A．x2； B．2x； C．2x； D．． x211?2? ． x?1x?x【参考答案】 A 【例2】计算：【参考答案】
1． x【例3】（宝山2014一模19）化简并求值：(【参考答案】解：原式?112，其中x?2cos45??tan45?． ?)?2x?2xx?4x??x?2?x?x?2???x?2??x?2?
2 ?x?2． x 将x?2cos45??tan45??2?1代入， 原式?2?1?3?22． 2?1【例4】（徐汇2014二模20）（本题满分10分） 先化简，再求值：?1?【参考答案】
??1??x??x????，其中x?3.
x?1?x2?1??x2?1?1x?x?1??x?原式＝2 2分
x?1x?1
x2x?1 ＝2 2分 ?x?1x2x2x?1?2 ＝
(x?1)(x?1)x ＝
1 3分 x?1113?11??， 3分 x?12x?13?1将x?3代入【例5】（普陀2014二模20）（本题满分10分）
?x?3?x?2??2x?x??3x??先化简分式：?，再从不等式组的解集中取一个合适的整数代入，求原??24x?2?5x?1?x?1x?1?x??分式的值.
【参考答案】
解：(3xxx ?)?2x?1x?1x?13xx(x?1)(x?1) 1分 =(?)?x?1x?1x10
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