第1讲 函数图象与性质及函数与方程
高考定位 1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、函数的最值与值域、函数的奇偶性、函数的单调性，或者综合考查函数的相关性质.2.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想，这是高考考查函数的零点与方程的根的基本方式.
真 题 感 悟
1.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y＝cos x C.y＝ln x
B.y＝sin x D.y＝x2＋1
解析 由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cos x是偶函数又有零点. 答案 A
?1＋log2（2－x），x＜1，2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝?x－1则f(－2)＋f(log212)＝( )
2，x≥1，?A.3
B.6
C.9
D.12
解析 因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，1
f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×2＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C. 答案 C
3.(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( ) A.{x|－1＜x≤0} B.{x|－1≤x≤1} C.{x|－1＜x≤1}
D.{x|－1＜x≤2}
解析 如图，由图知：f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1 4.(2015·山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1) 的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________. 解析 当a＞1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为增函数， －1 ?a＋b＝－1，∴?0方程组无解； a＋b＝0，? 当0＜a＜1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为减函数， 1－1??a＋b＝0，a＝，?3∴?0解得?2∴a＋b＝－2. ?a＋b＝－1，??b＝－2.3答案 －2 考 点 整 合 1.函数的性质 (1)单调性：证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性； (2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0；③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； (3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数；②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线 x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；④若f(x＋a)＝－f(x) 1?? ?或f（x＋a）＝f（x）?，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数. ??2.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. 3.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标. (2)零点存在性定理 注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点. 热点一 函数性质的应用 [微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性 【例1－1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________. (2)(2015·济南三模)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) 11A.2＞ x＋1y2＋1C.sin x＞sin y B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) D.x3＞y3 ?2x＋2，x＜1， (3)设f(x)＝?(a∈R)的图象关于直线x＝1对称，则a的值为( ) ?－ax＋6，x≥1A.－1 B.1 C.2 D.3 解析 (1)f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x2)为奇函数， 所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0， 即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1. (2)∵ax＜ay，0＜a＜1，∴x＞y，∴x3＞y3. (3)由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(0)＝f(2)， 即2＝－2a＋6，解得a＝2.故选C. 答案 (1)1 (2)D (3)C 探究提高 第(3)小题将对称问题转化为点的对称，从而很容易地解决问题，本题也可借助于图象的斜率解决. [微题型2] 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性 【例1－2】 (1)(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数 D.偶函数，且在(0，1)上是减函数 (2)(2015·长沙模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________. 解析 (1)易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln 2?1＋x? ＝ln?－1－x－1?，由复合函数单调性判断方法1－x?? 知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A. (2)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称. 又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减， 则f(x)的大致图象如图所示， 由f(x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3. 答案 (1)A (2)(－1，3) 探究提高 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题. 【训练1】 (2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x －m| －1(m为实数)为偶函数，记a＝ f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) A.a＜b＜c C.c＜a＜b B.a＜c＜b D.c＜b＜a 解析 因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0， 所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数， log0.53＝－log23，∴log25＞|log0.53|＞0， ∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C. 答案 C 热点二 函数图象与性质的融合问题 [微题型1] 函数图象的识别 【例2－1】 (1)(2015·安徽卷)函数f(x)＝结论成立的是( ) A.a>0，b>0，c<0 ax＋b 的图象如图所示，则下列 （x＋c）2 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0 a (2)(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( ) b 解析 (1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c＞0，∴c＜0；令x＝0，得f(0)＝c2，又由bb 图象知f(0)＞0，∴b＞0；令f(x)＝0，得x＝－a，结合图象知－a＞0，∴a＜0.故选C. (2)当a＝0时，两个函数的解析式分别为y＝－x，y＝x，故选项D中的图象是可能的.当a≠0a1 时，二次函数y＝ax2－x＋的对称轴方程为x＝，三次函数y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的导 22a 1111 数为y′＝3a2x2－4ax＋1＝(3ax－1)(ax－1)，令y′＝0，得其极值点为x1＝3a，x2＝a.由于3a＜2a1111 ＜a(a＞0)，或者3a＞2a＞a(a＜0)，即三次函数的极值点在二次函数的对称轴两侧，选项A、C中的图象有可能，选项B中的图象不可能. 答案 (1)C (2)B 探究提高 识图时，可从图象与x轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.在探究两个函数的图象位臵关系时，要善于根据函数解析式中字母的变化研究函数性质的变化，从而确定两个函数图象的可能位臵关系. [微题型2] 函数图象的应用 【例2－2】 (1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)?1?－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f ?－2?，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( ) ??A.c＞a＞b C.a＞c＞b B.c＞b＞a D.b＞a＞c (2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，