过点A(a，a)时，z＝2x＋3y取得最大值5，所以5＝2a＋3a，解得a＝1. 答案 1
1.应用不等式的性质时应注意的两点
(1)两个不等式相加的前提是两个不等式同向；两个不等式相乘的前提是两个不等式同向，且不等式两边均大于0；不等式原则上不能相减或相除.
(2)不等式的性质是不等式变形的依据，但要注意区分不等式各性质的是否可逆性. 2.多次使用基本不等式的注意事项
当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法. 3.均值不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中 也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.
4.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.
5.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.
一、选择题
1.(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由|x－2|＜1得1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x＜3x＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞1分而不必要条件，选A. 答案 A
1＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充
xy
2.(2015·临汾模拟)若点A(m，n)在第一象限，且在直线3＋4＝1上，则mn的最大值是( ) A.3
B.4
C.7
D.12
xy
解析 因为点A(m，n)在第一象限，且在直线3＋4＝1上， mn
所以m，n∈R＋，且3＋4＝1，
mn＋mn13mn342??
?当且仅当3＝4＝2，即m＝2，n＝2时，取“＝”?， 所以3·≤()42??mn?1?21??所以3·4≤?2?＝4，即mn≤3，所以mn的最大值为3. 答案 A
?4x＋5y≥8，
3.(2015·广东卷)若变量x，y满足约束条件?1≤x≤3，则z＝3x＋2y的最小值为(
?0≤y≤2，
31A.5
B.6
23C.5
D.4
解析 不等式组所表示的可行域如下图所示，
)
4?3z3z?
由z＝3x＋2y得y＝－2x＋2，依题意当目标函数直线l：y＝－2x＋2经过A?1，5?时，z取得最
??
423
小值，即zmin＝3×1＋2×5＝5，故选C. 答案 C
4.已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为( ) A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ∵x＞0，y＞0，
∴x＋2y≥22xy(当且仅当x＝2y时取等号). x＋22xy
又由x＋22xy≤λ(x＋y)可得λ≥，
x＋y而
x＋22xyx＋（x＋2y）
≤＝2， x＋yx＋y
?x＋22xy?
?∴当且仅当x＝2y时，?＝2. maxx＋y??∴λ的最小值为2. 答案 B
?x－2y＋1≤0，
5.(2015·衡水中学期末)已知约束条件?ax－y≥0，表示的平面区域为D，若区域D内至少
?x≤1
有一个点在函数y＝ex的图象上，那么实数a的取值范围为( ) A.[e，4) C.[1，3)
B.[e，＋∞) D.[2，＋∞)
解析 如图：点(1，e)满足ax－y≥0，即a≥e.
答案 B
二、填空题
6.(2015·福建卷改编)若变量x，y________.
?x＋2y≥0，
满足约束条件?x－y≤0，则
?x－2y＋2≥0，
z＝2x－y的最小值等于
解析 如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，1?15?
－1，??由图形可知当y＝2x－z过点2?时z最小，zmin＝2×(－1)－2＝－2. ?
5
答案 －2 2??x＋－3，x≥1，
7.(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝?x则f(f(－3))＝________，
??lg（x2＋1），x＜1，f(x)的最小值是________.
2
解析 f(f(－3))＝f(1)＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋x－3≥22－3，当且仅当x＝2时，取等号；当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，
∴f(x)的最小值为22－3. 答案 0 22－3
8.(2015·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 解析 由已知，得xy＝9－(x＋3y)， ?x＋3y?2
?， 即3xy＝27－3(x＋3y)≤?
?2?令x＋3y＝t，则t2＋12t－108≥0， 解得t≥6或t ≤－18(舍)，即x＋3y≥6. 答案 6 三、解答题 9.已知函数f(x)＝
2x
. x＋6
2(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值； (2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围. 解 (1)f(x)＞k?kx2－2x＋6k＜0.
由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2. 22
由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝k，即k＝－5. (2)因为x＞0，f(x)＝
2x226
＝≤＝
6266，当且仅当x＝6时取等号. x2＋6
x＋x
6?6?
由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥6，即t的取值范围是?，＋∞?.
?6?10.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射在方程y＝kx－
1
(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发20
垂直于地后的轨迹射方向有
关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y＝0，得 1
kx－20(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 20k2020
故x＝＝
1≤2＝10， 1＋k2k＋k当且仅当k＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标 存在k＞0，
1
使3.2＝ka－20(1＋k2)a2成立? 关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根? 判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0? a≤6. 所以当a不超过6千米时，可击中目标.
1
11.已知函数f(x)＝3ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2. (1)证明：a＞0；
(2)若z＝a＋2b，求z的取值范围. (1)证明 求函数f(x)的导数 f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.
由函数f(x)在x＝x1处取得极大值， 在x＝x2处取得极小值， 知x1、x2是f′(x)＝0的两个根， 所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2).
当x＜x1时，f(x)为增函数，f′(x)＞0， 由x－x1＜0，x－x2＜0得a＞0.
(2)解
?f′（0）＞0，
在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于?f′（1）＜0，
?f′（2）＞0，
?2－b＞0，?2－b＞0，
即?a－2b＋2－b＜0，化简得?a－3b＋2＜0， ?4a－4b＋2－b＞0，?4a－5b＋2＞0.