A.5，5
5
B.10，2
C.10，5 D.10，10
解析 ∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＋5＝xy≥24xy＋5， 即xy－4xy－5≥0，可求xy≥25.
5
当且仅当x＝4y时取等号，即x＝10，y＝2. 答案 B
探究提高 在使用基本不等式求最值时一定要检验等号能否取到，有时也需进行常值代换. [微题型2] 带有约束条件的基本不等式问题
1?1?2
【例1－2】 (2015·四川卷)如果函数f(x)＝2(m－2)x＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间?2，2?上
??单调递减，那么mn的最大值为( ) A.16
B.18
C.25
81
D.2 n－8
解析 令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－，
m－2当m＞2时，对称轴x0＝－
n－8
， m－2
n－8
由题意，－≥2，∴2m＋n≤12，
m－22m＋n
∵2mn≤2≤6，
∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6， 当m＜2时，抛物线开口向下， n－81
由题意－≤，即2n＋m≤18，
m－222n＋m81
∵2mn≤2≤9，∴mn≤2， 由2n＋m＝18且2n＝m，
得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B. 答案 B
探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
【训练1】 (1)(2015·广州模拟)若正实数x，y满足x＋y＋1＝xy，则x＋2y的最小值是( ) A.3
B.5
C.7
D.8
(2)已知关于x的不等式2x＋A.1
2
≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( ) x－a35B. C.2 D. 22
x＋1
， x－1
解析 (1)由x＋y＋1＝xy，得y＝又y＞0，x＞0，∴x＞1.
2?x＋1?1＋∴x＋2y＝x＋2×＝x＋2×? x－1?x－1??44
＝x＋2＋＝3＋(x－1)＋≥3＋4＝7，
x－1x－1当且仅当x＝3时取“＝”. (2)∵x∈(a，＋∞)，∴x－a＞0， 22
∴2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2·
x－ax－a3由题意可知4＋2a≥7，得a≥2， 3
则实数a的最小值为2，故选B. 答案 (1)C (2)B
热点二 含参不等式恒成立问题
[微题型1] 运用分离变量解决恒成立问题
4
【例2－1】 关于x的不等式x＋x－1－a2＋2a＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________.
44
解析 设f(x)＝x＋x，因为x＞0，所以f(x)＝x＋x≥2
44x·x＝4.又关于x的不等式x＋x－1－
2
2（x－a）·＋2a＝4＋2a，
x－a
a2＋2a＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以a2－2a＋1＜4，解得－1＜a＜3，所以实数a的取值范围为(－1，3). 答案 (－1，3)
探究提高 一是转化关，即通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对?x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)；
二是求最值关，即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题. [微题型2] 构造函数(主辅元转换)解决恒成立问题
【例2－2】 已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式 x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，求x的取值范围.
?1?
解 易知f(t)∈?2，3?，由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2＞0对
??
?1?
?m∈?2，3?恒成立.
??1???g???＞0，所以只需??2?即可，
??g（3）＞01??（x－2）＋（x－2）2＞0，
即?2??3（x－2）＋（x－2）2＞0
x＞2或x＜－1.
故x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
探究提高 主、辅元互换可以实现对问题的有效转化，由繁到简，应用这种方法的过程中关键还是把握恒成立的本质，巧用转化思想，灵活处理，从而顺利解决问题. 【训练2】 (1)(2015·合肥模拟)已知a＞0，b＞0，若不等式最大值为( ) A.4
B.16
C.9
D.3
m31
－a－b≤0恒成立，则m的3a＋b
(2)若不等式x2－ax＋1≥0对于一切a∈[－2，2]恒成立，则x的取值范围是________. 解析 (1)因为a＞0，b＞0，所以由恒成立. 3b3a因为a＋b≥2
3b3a
a·b＝6，
m313b3a?31?－a－b≤0恒成立得m≤?a＋b?(3a＋b)＝10＋a＋b
??3a＋b
3b3a
当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋a＋b≥16， 所以m≤16，即m的最大值为16，故选B. (2)因为a∈[－2，2]，可把原式看作关于a的函数， 即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，
2
?g（－2）＝x＋2x＋1≥0，
由题意可知?解之得x∈R. 2
?g（2）＝x－2x＋1≥0，
答案 (1)B (2)R
热点三 简单的线性规划问题
[微题型1] 已知约束条件，求目标函数最值
?x＋y－7≤0，
【例3－1】 设x，y满足约束条件?x－3y＋1≤0，则z＝2x－y的最大值为(
?3x－y－5≥0，
A.10
B.8
C.3
D.2
解析 画出可行域如图所示，由z＝2x－y，得y＝2x－z，欲求z的最大值，可将直线y＝2x向下平移，当经过区域内的点，且满足在y轴上的截距－z最小时，即得z的最大值，如图，可知当过点A时z最大， ?x＋y－7＝0，?x＝5，由?得? x－3y＋1＝0，y＝2，??即A(5，2)，则zmax＝2×5－2＝8. 答案 B
)
探究提高 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
[微题型2] 已知最值求参数问题
?x－y≥0，【例3－2】 (2015·山东卷)已知x，y满足约束条件?x＋y≤2，若z＝ax＋y的最大值为4，则
?y≥0，
a＝( ) A.3
B.2
C.－2
D.－3
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2，0)，由?x－y＝0，?得B(1，1). ?x＋y＝2，
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B. 答案 B
探究提高 对于线性规划中的参数问题，需注意：
(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特
征加以转化.
(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.
[微题型3] 非线性规划问题
?3?
【例3－3】 已知动点P(x，y)在过点?－2，－2?且与圆M：(x－1)2＋(y＋2)2＝5相切的两条直
??线和x－y＋1＝0所围成的区域内，则z＝|x＋2y－3|的最小值为( ) 5
A.5
B.1
C.5
D.5
解析 由题意知，圆M：(x－1)2＋(y＋2)2＝5的圆心坐标为(1，－2). 3?3??3?
过点?－2，－2?的直线方程可设为y＝k?x＋2?－2，即kx－y＋2k－2＝0.
????
3??
?k×1＋2＋2k－2???3
因为直线kx－y＋2k－2＝0和圆M相切，所以＝5，解得k＝±2，所以两
1＋k2条切线方程分别为l1：2x－y＋1＝0，l2：2x＋y＋5＝0.由直线l1，l2和x－y＋1＝0所围成的区域如图所示. z＝|x＋2y－3|＝
5|x＋2y－3|
的几何意义为可行域内的点到直线x＋5
2y－3＝0的距离的5倍.由图知，可行域内
的点B到直线x＋2y－3＝0的距离最小，则zmin＝|0＋ 2×1－3|＝1，故选B. 答案 B
探究提高 线性规划求最值问题要明确目标函数的几何意义：(1)目标函数为一次函数，几何意义可等价为横、纵截距，平移直线即可求出最值；(2)目标函数为二次函数，可等价距离的平方，但要注意求距离最值时，若利用垂线段，需考虑垂足是否在可行域内，所以此时更要注意数形结合的重要性；(3)目标函数为一次函数绝对值，可构造点到直线的距离，但莫忘等价变形(即莫忘除以系数)；(4)目标函数为一次分式，可等价直线的斜率.
?x－y≤0，
【训练3】 若x，y满足条件?x＋y≥0，且z＝2x＋3y的最大值是5，则实数a的值为________.
?y≤a，
解析 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z
＝2x＋3y