精品课程——数字信号处理
一、离散时间信号和系统
? 信号从模拟到数字的过程
信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。 连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。 模拟信号是连续信号的特例。时间和幅度均连续。 离散信号：时间上不连续，幅度连续。 数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。 ? 数字信号处理的主要优点
数字信号处理采用数字系统完成信号处理的任务，它具有数字系统的一些共同优点，例如抗干扰、可靠性强，便于大规模集成等。除此而外，与传统的模拟信号处理方法相比较，它还具有以下一些明显的优点： (1)、精度高 (2)、灵活性强
(3)、可以实现模拟系统很难达到的指标或特性 (4)、可以实现多维信号处理 缺点：
(1）增加了系统的复杂性。他需要模拟接口以及比较复杂的数字系统。 （2）应用的频范围受到限制。主要是A/D转换的采样频率的限制。
（3）系统的功率消耗比较大。数字信号处理系统中集成了几十万甚至更多的晶体管，而模拟信号处理系统中大量使用的是电阻、电容、电感等无源器件，随着系统的复杂性增加这一矛盾会更加突出。 主要概念 ? ? ?
离散时间信号描述与性质 离散时间系统描述与性质 采样定理与内插恢复
1、离散时间信号的时域描述
? 信号的描述：时域、频域、变换域 功率谱 概率密度
? 信号的性质：确知、随机、平稳非平稳、周期非周期、对称性、奇偶性等; ? 信号的分类
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确定性信号 (能量、功率) 周期信号 非周期信号 信号 P平稳 随机信号 (功率信号) 非平稳 非各态遍历
? 信号的分解：
实序列的偶部和奇部
各态遍历 x(n)?xe(n)?xo(n)1xe(n)?[x(n)?x(?n)]2
x(n)?1[x(n)?x(?n)]o
2? 信号的运算：序列的相加 z(n)=x(n)+y(n)
序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) 序列的移位 y(n)=x(n-n0) 序列的能量 ? 常见离散信号--------序列 概念点：正弦信号的周期性判定 ? 任意序列的单位脉冲序列表示
S?n?????x(n)2
x(n)?m????x(m)?(n?m)?? 掌握序列周期性的定义及判断序列周期性的方法；
如果x?n??x?n?mN?，m和N为整数，N>0，则称x?n?为周期序列，周期为N，记为
xN?n?。
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周期序列的定义只有一点与模拟周期函数定义不同，即周期序列的自变量n和周期N只能取整数。正是这一区别，使得某些模拟周期信号，离散化后就不一定是周期序列。
例如，ej?0t一定是周期函数，周期T0?2?j?n，而e是否是周期序列，取决于数字频?0以N为周期，导出e应满足
j?n率的取值。为了说明这个问题，我们假设e由以上假设及周期序列的定义可知，ej?n为周期序列的条件。
j?nej?n?ej??n?kN?，k和N为整数，N>0
所以必须满足ωkN?2?m，m为整数。
当k=1时，ωN?2?m。所以，只有当Nm?2??为有理数时，N和m才是整数解，
ej?n才是周期序列。此时只要将2??化为最简分数（分子分母化为整数），则分子就是周
期N。
2.离散时间信号信号的变换域分析 2.1 序列的傅里叶变换（DTFT）
（1） 序列傅里叶变换定义
def??j?Xe?DTFT?x?n????x?n?e?j?n??n??? ?
def??x?n??IDTFTXej??1Xej?ej?n??2????????????（2）序列的傅里叶变换存在的条件为：
n????x?n???
?（3）序列的傅里叶变换的唯一性和周期性可表示如下：
Xe????x?n?,X?ej?1?1j(??2?m??X?e?
j? （4）序列的傅里叶变换的基本性质 序列傅里叶变换的基本性质列于表
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序 列 傅 里 叶 变 换 x?n?y?n?ax?n??by?n?x?n?n0?x*?n?x??n?x?n??y?n?x?n??y?n?nx?n?Re?x?n??jIm?x?n??xe?n?xo?n? 2??Y?e?aX?e??bY?e?,a,b为常数eX?e?X?e?X?e?X?e??Y?e?1X?e?Y?e????2?j?dX?e?d??X?e?X?e?Re?X?e??jIm?X?e?? Xej?j?j?j??j?n0?j??j??j?j?j??j?j?????j?j?ej?oj?j?n?????x?n??2N12????k?0?Xej?d?2N??2?x?n?n?0N?1~1?N?X?k?N?1~
2.2. 周期序列的离散傅里叶级数展开及傅里叶变换
设~xN(n)表示以N为周期的周期序列，则其离散傅里叶级数为
正变换 反变换
N?1N?1?jnk~nk~~NX(k)?DFS?x(n)???x(n)e??~x(n)WNn?0n?0jnk1N?1~1N?1~~?nk~Nx(n)?IDFSX(k)??X (k)e??X(k)WNNk?0Nk?02???2?
设~xN(n)表示以N为周期的周期序列，则其离散傅里叶变换为：
Xe??j??~?2??FT?xN?n?????N~2?????Xk???k? N??N??n????~其中，??n?为单位冲激函数，XN?k?称为~xN(n)的离散傅里叶级数（DFS）系数。
2.3．离散序列的Z变换(ZT)
（1） Z变换定义
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def???n?X?z??ZT?x?n????x?n?z?n??? ?
def?x?n??IZT?X?z???1X?z?zn?1dz?2?j?c?其中，c是一条在X?z?的收敛域上，并包含原点的逆时针闭合围线。显然，如果不知道X?z?的收敛域，则c不能确定，IZT?x?n??则无法计算。由此可看出Z变换的收敛域的重要性。
（2）Z变换存在的条件与X(Z)的收敛域
? Z变换存在的条件为：X?z???n????x?n?r?n??n?j?ne?n????x?n?r??n??
即X?z?存在的充分条件:
n????x?n?r??
X?z??IZT?x?n??的收敛域定义为满足上式的r的取值域。换言之，使X?z???的z取值域称为X?z?的收敛域。显然，X?z?的收敛域与x?n?有关。
要点 对一个确定的x?n?，其Z变换X?z?的表达式及其收敛域是一个整体，二者共同唯一确定x?n?。
收敛域（ROC）特点
? Z变换的收敛域是中心在原点的圆盘或环状区域； ? 仅当ROC包含单位圆时，序列的傅里叶变换存在；
? 收敛域内部不包含任何极点且是连通的，也即收敛域是以极点为边界的； ? Z变换加收敛域才能唯一确定一个序列
? 典型序列Z变换的收敛域
双边序列的Z变换收敛域为一环域，
X?z??n????x?n?z??n,R??z?R?
因果序列的Z变换收敛域为某圆外，
X?z??
n????x?n?z??n,R??z??
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