精品课程——数字信号处理
2-10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: HR(ejw)?1?cosw 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：
?1jw1?jwHR(e)?1?cosw?1?e?e?FT[he(n)]??he(n)e?jwn22n???jw?1?2,n??1?he(n)??1,n?0?1?,n?1?2?0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1?2h(n),n?0??0,其它n?e??H(e)?jwn???
??h(n)e?jwn?1?e?jw?2e?jw/2cos
w22-14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）?2?nu(?n?1)； （3）2u(?n)；
（6）2[u(n)?u(n?10)] 解：
（2） ZT[2u(n)]?（3）
?n?n?nn????2u(n)z?n??n??2?nz?n?n?0?11 ,z??1?11?2z2ZT[?2u(?n?1)]? ?（6）
?nn?????2??nu(?n?1)z?n?n??1??2??nz?n???2nznn?1??2z11?,z?1?2z1?2?1z?129
ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n?nn?0 ?
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1?2z,0?z??1?2?1z?1?10?10
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2-16. 已知:
X(z)?32 ?1?11?2z?11?z2求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z?0.5时，
x(n)?12?jn?1X(Z)zdz ??c令F(z)?X(z)zn?15?7z?15z?7n?1n ?z?z?1?1(1?0.5z)(1?2z)(z?0.5)(z?2)n?0，因为c内无极点，x(n)=0；
n??1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有
z1?0.5,z2?2，那么
x(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2](5z?7)zn(5z?7)zn ?(z?0.5)z?0.5?(z?2)(z?0.5)(z?2)(z?0.5)(z?2)1 ??[3?()n?2?2n]u(?n?1)2（2）当收敛域0.5?z?2时，
z?2
(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5；
1x(n)?Res[F(z),0.5]?3?()n
2n?0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一
个，即2，
x(n)??Res[F(z),2]??2?2nu(?n?1)
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()u(n)?2?2u(?n?1) 最后得到x(n)?3?（3）当收敛域2?z时，
12nn(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5，2；
1x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?3?()n?2?2n
2n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到
1x(n)?[3?()n?2?2n]u(n)
217. 已知x(n)?anu(n),0?a?1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）au(?n)的z变换。 解：
（1）X(z)?ZT[au(n)]?n?nn????anu(n)z?n??1,z?a ?11?azdaz?1（2）ZT[nx(n)]??zX(z)?,z?a ?12dz(1?az)（3）ZT[au(?n)]??n?azn?0???n?n??anzn?n?0?1,z?a?1 1?az?3z?118. 已知X(z)?，分别求： ?1?22?5z?2z（1）收敛域0.5?z?2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z?2对应的原序列x(n)。
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解：
x(n)?12?jn?1X(z)zdz ??cF(z)?X(z)zn?1?3z?1?3?znn?1 ?z??1?22?5z?2z2(z?0.5)(z?2)（1）当收敛域0.5?z?2时，n?0，c内有极点0.5，
x(n)?Res[F(z),0.5]?0.5n?2?n,n?0,
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
x(n)??Res[F(z),2]?2n,
最后得到
x(n)?2?nu(n)?2nu(?n?1)?2（2（当收敛域z?2时，
?n
n?0,c内有极点0.5,2,
x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]
?3?zn?0.5?2(z?0.5z)?(nn ?0.5?n2z(?2)2)z?2
n?0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,
因此x(n)?0, 最后得到
x(n)?(0.5n?2n)u(n)
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