精品课程——数字信号处理
（3）逆Z变换的计算
逆Z变换的计算方法有幂级数法（长除法），部分分式法和留数法。留数法；
??x(n)????x(n)???1X(z)zn?1dz??Res[X(z)zn?1]z?zk?2?jck1X(z)zn?1dz???Res[X(z)zn?1]z?zm?2?jcm留数计算公式：
将F?z?化为z的正次幂有理分式，设z0为F?z?的一个m阶级点，则F?z?可表示为
F?z????z??z?z0?m,??z?在z0处无极点
1dm?1??z? Res?F?z?,z0???m?1?!dzm?1当m=1时
z?z0
Res?F?z?,z0????z?z?z0?F?z??z?z0?z?z0
由此可见，一阶级点的留数计算非常简单。而数字信号处理课程中，大多数情况下为一阶级点。
2.4. Z变换的主要性质与定理
为了便于查阅，将Z变换的主要性质与定理列在下表中，表中
X?z??ZT?x?n??,Rx??z?Rx?Y?z??ZT?y?n??,Ry??z?Ry?序号 名 称 性质与定理内容
备 注 1 线性 ZT?ax?n??by?n???aX?z??by?z?,R??z?R? R??maxRx?,Ry?R?x???min?R,Ry??? 2 时域移位 ZT?X?n?n0???z?n0X?z?,Rx??z?Rx? 对某些特殊序列，收敛域有变化 3 4 5 乘指数序列 序列乘n 初值定理 ZTa*x?n??Xa?1z,aRx??z?aRx? ZT?nx?n????zx??????dX?z?,Rx??z?Rx? dzx?0??limX?z? x?n?为因果序列 6
精品课程——数字信号处理
x?n?6 终值定理 为因果序列，n??limx?n??lim?z?1?X?z? x?1X?z?的极点除一个可以在单位圆上外，其余全位于单位圆内 7 时域卷积定理 ZT?x?n??y?n???X?z??Y?z?,R??z?R? R?和R?同1
5．.序列的傅里叶变换与其Z变换的关系
比较Xe??与X?z?的定义公式：
j?X?z??ZT?x?n???defn????x?n?z?n?????nXej??FT?x?n???容易得到二者的关系为
??def
?j?n?x?n?eXej??X?z?z?ej?
这说明，序列x?n?的傅里叶变换Xe????是x?n?的Z变换在z平面单位圆上的取值。即
j?傅里叶变换是Z变换的特例。只有当X?z?的收敛域包含单位圆时，x?n?才存在傅里叶变换。 作业：
1-3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）x(n)?Acos(?n?（2）x(n)?e解：
1j(n??)837?8)，A是常数；
。
32?14?,?，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； 7w312??16?，这是无理数，因此是非周期序列。 （2）w?,8w（1）w?
2.1. 设X(e)和Y(e)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）x(n?n0)；
7
jwjw精品课程——数字信号处理
（2）x(?n)； （3）x(n)y(n)； （4）x(2n)。 解：
（1）FT[x(n?n0)]?n????x(n?n)e0??jwn
令n'?n?n0,n?n'?n0，则
FT[x(n?n0)]???jwn*n????x(n)e'??jw(n'?n0)?e?jwn0X(ejw)
（2）FT[x(n)]?*n?????x(n)en????[?x(n)ejwn]*?X*(e?jw)
n????jwn?（3）FT[x(?n)]??x(?n)e
令n??n，则
'FT[x(?n)]?n'????x(n)e'?jwn'?X(e?jw)
jwjw（4） FT[x(n)*y(n)]?X(e)Y(e) 证明： x(n)*y(n)?m?????x(m)y(n?m)
??jwn?FT[x(n)*y(n)]?令k=n-m，则
n???m????[?x(m)y(n?m)]e??
FT[x(n)*y(n)]? ?k???m?????[?x(m)y(k)]e?jwk?m????jwk?jwnek????y(k)e?x(m)e?jwn
?X(ejw)Y(ejw)??1,w?w02-2. 已知X(e)??
??0,w0?w??jw8
精品课程——数字信号处理
求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)。 解： x(n)?12??w0?w0ejwndw?sinw0n ?n2-5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw)，完成下列运算： （1）X(ej0)；
?（2）
???X(ejw)dw；
2?（5）解：
???X(e)dw
jw（1）X(e)??j0n??3?x(n)?6
7（2）
???X(ejw)dw?x(0)?2??4?
27?（5）
???X(e)dw?2??x(n)?28?
jwn??322-6. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)?11?(n?1)??(n)??(n?1)； 22（3）x3(n)?anu(n),0?a?1 解：
（2）
1jw1?jw?jwnx(n)e?e?1?e?222n???
1 ?1?(ejw?e?jw)?1?cosw2X2(e)?jw?（3） X3(e)?2-7. 设:
（1）x(n)是实偶函数，
jwn????au(n)en??jwn??ane?jwn?n?0?1 ?jw1?ae（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。
9
精品课程——数字信号处理
解： 令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn
（1）x(n)是实、偶函数，X(e)?两边取共轭，得到
jwn????x(n)ejwn??jwn
X(e)?因此X(ejw)?X*(e?jw)
*jwn????x(n)e??n????x(n)e??j(?w)n?X(e?jw)
上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。
X(e)?jwn????x(n)e???jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]
?由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么
n?????x(n)sinwn?0
因此X(e)?jwn????x(n)coswn
该式说明X(e)是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(e)是实、偶函数。 （2）x(n)是实、奇函数。
上面已推出，由于x(n)是实序列，X(e)具有共轭对称性质，即
jwjwjwX(ejw)?X*(e?jw)
X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]
?x(n)coswn?0
??由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么
n????因此X(e)?j
jwn????x(n)sinwn，这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。
10