上季度是B电视机厂的订货客户，本季度转移到A厂订电视机的客户占10%。
上季度是B电视机厂的订货客户，本季度还订B厂电视机的客户占70%。
上季度是B电视机厂的订货客户，本季度转移到厂C订电视机的客户占20%。
C电视机厂的情况：
上季度是C电视机厂的订货客户，本季度转移到A厂订电视机的客户占20%。
上季度是C电视机厂的订货客户，本季度转移到B厂订电视机的客户占20%。
上季度是C电视机厂的订货客户，本季度还订C厂电视机的客户占60%。
问如果本季度订货客户的转移情况继续保持下去，那么三家电视机厂的订货客户会是一个什么结果？
解：设?n表示“第n个季度三家电视机厂A、B、C的客户的订货情况”
n?1,2,3,??。显然，随机变量序列??n:n?1,2,3,???是一
个时齐的马尔可夫链。
随机变量?n的状态为1，2，3。且
?1第n个季度A厂的订货客户? ?n??2第n个季度B厂的订货客户
?3第n个季度C厂的订货客户?则转移概率为
p11?P(?n?1?1?n?1)?P(第n?1季度A厂客户第n季度A厂客户)?0.6 p12?P(?n?1?2?n?1)?P(第n?1季度B厂客户第n季度A厂客户)?0.3 p13?P(?n?1?3?n?1)?P(第n?1季度C厂客户第n季度A厂客户)?0.1 p21?P(?n?1?1?n?2)?P(第n?1季度A厂客户第n季度B厂客户)?0.1 p22?P(?n?1?2?n?2)?P(第n?1季度B厂客户第n季度B厂客户)?0.7 p23?P(?n?1?3?n?2)?P(第n?1季度C厂客户第n季度B厂客户)?0.2 p31?P(?n?1?1?n?3)?P(第n?1季度A厂客户第n季度C厂客户)?0.2 p32?P(?n?1?2?n?3)?P(第n?1季度B厂客户第n季度C厂客户)?0.2 p33?P(?n?1?3?n?3)?P(第n?1季度C厂客户第n季度C厂客户)?0.6
从而可得转移概率矩阵为
?0.60.30.1??? P??pij???0.10.70.2?
?0.20.20.6???显然，转移概率矩阵P?0成立，该马氏链为正则链，具有遍历性。 由题设可知，三家电视机厂在上个季度，各厂家的订货客户的分布情况为
(a1(0),a2(0),a3(0))?(0.5,0.3,0.2) 可以视为系统的初始状态的分布。 所以可得：
第一个季度（本季度）三家电视机厂客户的订货情况为
(a1(1),a2(1),a3(1))?(a1(0),a2(0),a3(0))P?(0.5,0.3,0.2)P
?0.60.30.1?????0.50.30.2??0.10.70.2???0.370.400.23?
?0.20.20.6???将结果与上个季度三家电视机厂客户的订货情况作比较可知，A厂的订货客户减少了0.5?0.37?0.13，即13%。B厂的订货客户增加了
0.4?0.3?0.10，即10%。C厂的订货客户增加了0.23?0.2?0.03，即3%。
第二个季度（下一个季度）三家电视机厂客户的订货情况为
(a1(2),a2(2),a3(2))?(a1(1),a2(1),a3(1))P?(0.37,0.4,0.23)P
?0.60.30.1?????0.370.40.23??0.10.70.2???0.3080.4370.255?
?0.20.20.6???将结果与上个季度三家电视机厂客户的订货情况作比较可知，A厂的订货客户继续减少，又减少了0.37?0.308?0.062，即6.2%，且减少的速度在放慢。B厂的订货客户继续增加，增加了0.437?0.4?0.037，即3.7%，且增加的速度在放慢。C厂的订货客户也继续增加，增加了
0.255?0.23?0.025，即2.5%，且增加的速度也在放慢。
第三个季度三家电视机厂客户的订货情况为
(a1(3),a2(3),a3(3))?(a1(2),a2(2),a3(2))P?(0.308,0.437,0.255)P
?0.60.30.1?????0.3080.4370.255??0.10.70.2???0.27950.44930.2712?
?0.20.20.6???将结果与第二个季度三家电视机厂客户的订货情况作比较可知，A厂的订货客户还在继续减少，又减少了0.308?0.2795?0.0285，即2.85%，且减少的速度还在放慢。B厂的订货客户还在继续增加，增加了
0.4493?0.437?0.0123，即
1.23%，且增加的还在速度在放慢。C厂的
订货客户也在继续增加，增加了0.2712?0.255?0.0162，即1.62%，且增加的速度也在继续放慢。
如果设三家电视机厂的订货客户的稳定情况的分布为
W?(p1,p2,p3)
一定满足
?WP?W ?
p?p?p?123?1即为
??0.60.30.1????(p,p,p)0.10.70.2??(p1,p2,p3)?123? ? ?0.20.20.6?????p?p?p?123?1得到方程组
?0.6p1?0.1p2?0.2p3?p1?0.3p?0.7p?0.2p?p?1232 ?
0.1p?0.2p?0.6p?p1233???p1?p2?p3?1即为
?0.1p2?0.2p3?0.4p1?0.3p?0.2p?0.3p?132 ?
0.1p?0.2p?0.4p123???p1?p2?p3?1等价于
?p2?2p3?4p1?3p?2p?3p?32 ?1
?p1?2p2?4p3??p1?p2?p3?1得
?p2?4p1?2p3?3p?2p?12p?6p?313 ?1
?9p1?4p3?4p3??5p1?p3?1即
?p2?4p1?2p3? ?8p3?9p1
?5p?1?p3?1解得
8?p??131?14p? ? ?231?9?p??331? 所以，三家电视机厂的订货客户最终的稳定状态为
W?(8149,,)?(0.25806,0.45161,0.29032) 313131即电视机A厂最终能拥有订货客户25.8%，电视机B厂最终能拥有订货客户45.2%，电视机C厂最终能拥有订货客户29.0%。
另外，由最终的稳定状态可以看出，电视机A厂将失去订货客户24.2%，电视机B厂将增加订货客户15.2%，电视机C厂将增加订货客户9.0%。
例4：已知某系有同年级学生200名，他们的学习成绩的分布情况是，
成绩 人数 优秀 30 良好 70 及格 90 不及格 10 经过一个学期的学习，学习成绩发生了变化，其学习成绩的转移情况如下：
上学期优秀的30名学生中，本学期保持优秀的学生有20名，转移到良好的学生有6名，转移到及格的学生有4名，转移到不及格的