学生有0名。
上学期良好的70名学生中，本学期转移到优秀的学生有10名，保持良好的学生有50名，转移到及格的学生有9名，转移到不及格的学生有1名。
上学期及格的90名学生中，本学期转移到优秀的学生有2名，转移到良好的学生有14名，保持及格的学生有70名，转移到不及格的学生有4名。
上学期不及格的10名学生中，本学期转移到优秀的学生有0名，转移到良好的学生有1名，转移到及格的学生有7名，保持不及格的学生有2名。
如果该学校的教学环境不发生任何变化时，那么在今后的几个学期中学生的学习情况的分布如何呢？
解：设?n表示“该学校学生在第n个学期内的学习情况”，则得随机变量序列??n:n?1,2,3,???是一个时齐的马尔可夫链。 随机变量?n的状态为1，2，3，4。且
?1??2 ?n???3?4?第n个学期学习优秀的学生第n个学期学习良好的学生第n个学期学习及格的学生第n个学期学习不及格的学生
则转移概率为
p11?P(?n?1?1?n?1)
?P(第n?1个学期学习优秀第n个学期学习优秀)?202? 303p12?P(?n?1?2?n?1)
?P(第n?1个学期学习良好第n个学期学习优秀)?p13?P(?n?1?3?n?1)
?P(第n?1个学期学习及格第n个学期学习优秀)?61? 30542? 3015p14?P(?n?1?4?n?1)
?P(第n?1个学期学习不及格第n个学期学习优秀)?0?0 30p21?P(?n?1?1?n?2)
?P(第n?1个学期学习优秀第n个学期学习良好)?101? 707p22?P(?n?1?2?n?2)
?P(第n?1个学期学习良好第n个学期学习良好)?p23?P(?n?1?3?n?2)
?P(第n?1个学期学习及格第n个学期学习良好)?505? 7079 70p24?P(?n?1?4?n?2)
?P(第n?1个学期学习不及格第n个学期学习良好)?1 70p31?P(?n?1?1?n?3)
?P(第n?1个学期学习优秀第n个学期学习及格)?p32?P(?n?1?2?n?3)
21? 9045 ?P(第n?1个学期学习良好第n个学期学习及格)?p33?P(?n?1?3?n?3)
?P(第n?1个学期学习及格第n个学期学习及格)?147? 9045707? 909p34?P(?n?1?4?n?3)
?P(第n?1个学期学习不及格第n个学期学习及格)?42? 9045p41?P(?n?1?1?n?4)
?P(第n?1个学期学习优秀第n个学期学习不及格)?p42?P(?n?1?2?n?4)
0?0 10 ?P(第n?1个学期学习良好第n个学期学习不及格)?p43?P(?n?1?3?n?4)
?P(第n?1个学期学习及格第n个学期学习不及格)?1 107 10p44?P(?n?1?4?n?4)
?P(第n?1个学期学习不及格第n个学期学习不及格)?21? 105从而可得转移概率矩阵为
12?2?515?359?17770 P??pij????177??4545917??01010??0??1?70? 2??45?1??5?显然，转移概率矩阵
P?0
不成立，但很明显
P2?0
成立。所以，该系统为正则马氏链，具有遍历性。
若将上学期该系学生的学习成绩的分布情况视为学生学习成绩分布的初始状况，则得 (a1(0),a2(0),a3(0),a4(0))?(从而可得：
第一个学期期末该系学生的学习成绩的分布情况为
(a1(1),a2(1),a3(1),a4(1))?(a1(0),a2(0),a3(0),a4(0))P
307090103791,,,)?(,,,) 20020020020020202020 ???3?2072092012?2?515?359?11??7770??7720?1??4545917?0?1010??0??1?70? 2??45?1??5? ???4?25719200207?? 200? 将此结果与上学期该系学生的学习成绩的分布情况作比较可知，优秀生的比例提高了例提高了
431??，即一个百分点。良好生的比25201007171??，即0.5个百分点。而及格生的比例保持不变2002020099173??0。所关注的不及格生的比例下降了??，即1.5个202020200200百分点。
同理可以计算出，第二个学期期末该系学生的学习成绩的分布情况为
(a1(2),a2(2),a3(2),a4(2))?(a1(1),a2(1),a3(1),a4(1))P
12?2?515?359?17??7770??77200?1??4545917?0?1010??0??1?70? 2??45?1??5? ???4?2571920020结果与分析略。
用此方法可以求出，今后任意一个学期内该系学生的学习成绩的分布情况即为
(a1(k),a2(k),a3(k),a4(k))?(a1(0),a2(0),a3(0),a4(0))Pk
???3?2072092012?2?515?359?11??7770??7720?1??4545917??01010??0??1?70? 2??45?1??5?k 如果要分析离目前较远的学期内，该系学生的学习成绩的分布情况。可以用该马氏链的稳态分布情况，即为 W??p1p2使得 ?即为
?12?2??515?3?59?1??7770??(p1,p2,p3,p4)?177 ????45459?17?0??1010????p1?p2?p3?p4?1?0??1?70??(p,p,p,p)12342? ?45?1??5?p3p4?
?WP?W
?p1?p2?p3?p4?1由此方程组解出的解即为该系学生的学习成绩的分布的稳定的分布情况，是用它可以对该年级的学生毕业之前的情况作出预测和分析。