要存在整数m，使对任意n∈N+，不等式Tn≤m恒成立，即（Tn）max≤m， 由{}单调递减可知当n=1时，Tn取最大值1，即m=1．
20．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4
x的焦点重合，
过点F1的直线l交椭圆于A，B两点．当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时，与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切． （1）求椭圆C的方程；
（2）是否在x轴上存在定点M，使?为定值？若存在，请求出定点M及定值；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，可得c=，即a2﹣b2=3，求得直线经过（﹣c，0）和（0，b）的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，结合离心率公式可得b，a，进而得到椭圆方程；
（2）假设直线l的斜率存在，设直线的方程为y=k（x+），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得x的方程，运用韦达定理，设出M（m，0），运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值，可得m，以及向量数量积的值；再讨论直线l的斜率不存在，求得A，B，验证成立．
【解答】解：（1）抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣，0）， 由题意可得c=，即a2﹣b2=3， 由直线l经过（﹣c，0）和（0，b），可得直线l：bx﹣cy+bc=0， 直线l与原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切，可得
=e=
=，解得b=1，则a=2，
+y2=1；
即有椭圆的方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x+）， 代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣
，x1x2=
，
设M（m，0），=（m﹣x1，﹣y1），=（m﹣x2，﹣y2）， ?═（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1+=m2+（k2﹣m）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+3k2 =m2+（
k2﹣m）（﹣
）+（1+k2）?
+3k2
）（x2+
）
=，
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要使?为定值，则=4，
解得m=﹣，即有?=﹣．
，﹣），B（﹣
，），
当直线l的斜率不存在时，A（﹣=（﹣可得
?
，），=﹣
．
=（﹣
，﹣），
则在x轴上存在定点M（﹣，0），使得?为定值﹣．
21．已知m，n∈R，函数f（x）=（4x+m）lnx，g（x）=x2+nx﹣5，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的切线相同． （1）求f（x），g（x）的解析式：
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；
（3）证明：当x∈（0，k]（0＜k≤1）时，不等式（2x+1）f（x）﹣（2x+1）g（x）≤0恒成立．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求出f（x）的导数，得到关于m，n的方程组，解出即可；（2）求出F（x）的导数，求出其导函数递减，判断出导函数的符号，从而求出函数的单调区间；
（3）问题转化为：（2k+1）（4x+2）lnx﹣（2x+1）（x2+4x﹣5）≤0，令H（x）=（2k+1）（4x+2）lnx﹣（2x+1）（x2+4x﹣5），通过求导得到H（x）的最大值，从而证出结论． 【解答】解：（1）∵f′（x）=4（lnx+1）+，g′（x）=2x+n， ∴f′（1）=4+m，g′（1）=2+n，
∵曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的切线相同， ∴f（1）=0=g（1）=1+n﹣5，f′（1）=g′（1）， 即
，解得：m=2，n=4，
∴f（x）=（4x+2）lnx，g（x）=x2+4x﹣5； （2）由题意F（x）=（4x+2）lnx﹣x2﹣4x+5，（x＞0）， ∴F′（x）=4lnx+
﹣2x﹣4=4lnx+﹣2x，
令G（x）=F′（x），则G′（x）=≤0恒成立，
∴F′（x）在（0，+∞）递减， 又∵F′（1）=0，∴在（0，1），F′（x）＞0，在（1，+∞），F′（x）＜0， ∴F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减； （3）由题意得：k∈（0，1]，2x+1＞0，
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∴不等式（2k+1）f（x）﹣（2x+1）g（x）≤0可化为： （2k+1）（4x+2）lnx﹣（2x+1）（x2+4x﹣5）≤0， 令H（x）=（2k+1）（4x+2）lnx﹣（2x+1）（x2+4x﹣5）， ∴H′（x）=
，
令h（x）=﹣2x2﹣4x+4k+2中，h（k）=﹣2k2﹣4k+4k+2=﹣2（k﹣1）（k+1）， 当0＜k≤1，h（k）≥0，H′（x）＞0， H（x）在（0，k）递增，
H（x）max=H（k）=2（2k+1）lnk﹣k2﹣4k+5，
又F（x）=（4x+2）lnx﹣x2﹣4x+5在（0，1）递增， H（x）max=H（k）=F（k）≤F（1）=0，满足题意．
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2016年8月1日
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