浅谈反证法在中学数学中的应用
论文摘要： 阐明反证法的定义、逻辑依据、种类、证明的一般步骤、，探索了反证
法在中学数学中的应用。
关 键 词： 反证法 证明 矛盾
Reduction to Absurdity Applied in Mathematics in Middle School
Wu-shilei
Abstract: In this paper, we give the definition ，the logical basis and
species of reduction to absurdity. Besides, we illustrate its procedures and
explore its applications of on mathematics in the middle school.
Key-words: reduction to absurdity proof contradict
一. 引言
有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，
独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论，从最基本的一些性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。
二. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式
定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
不仿设原命题为p?q，s是推出的结论，s一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：p?q?s?s?p?q，即
??p?q?s?s?p?q。
逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 其主要思维过程：假定“结论不成立”，结论一不成立就会出现毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，或者与公理、定理矛盾，或者与临时假定矛盾，或者自身矛盾的方式暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？我们的推理没有错误，已知条件，已知公理、定理没有错误，这样，唯一有错误的地方就是一开始假定的“结论不成立”有错误。“结论不成立”与 “结论成立”必然有一个正确，既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。
种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。
模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：
反设：作出与求证结论相反的假设；
归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
??三. 反证法的适用范围
反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、
1
三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。
1.否定性命题
即结论以“没有??”“不是??”“不能??”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。
例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。
证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。
2.限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。 例 在半径为5的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公
?共部分的面积不小于9。
?2C?36个公共部99证明：每个小圆的公共部分的面积都小于，而九个小圆共有
36??9分，九个小圆的公共部分面积要小于
?4?，又大圆面积为5?，则九个小圆应
占面积要大于9??4??5?，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少
?于9。
222x?(a?1)x?a?0，x2?2ax?2a?0中至少x?4ax?4a?3?0例 已知方程，
有一个方程有实数值，求实数a的取值范围。
分析：此题直接分情况用判别式求解就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件a的集合的补集即可。
证明：假设三个方程都无实根，则有：
2
?(4a)2?4(?4a?3)＜0?22?(a?1)?4a＜0?4a2?8a＜0?3-＜a＜-1解得 2
例6 已知点
E，F，G，H分别在单位正方形ABCD的四边上(图
又四边形EFGH的四个内角中，至少有一个内角不大于90°(否则，四边形内角和将大于360°)，因此，不妨设∠EFG≤90°，则EG2≤EF2+EG2(可根据勾股定理及广勾股定理证明．请读者自证)，所以EG2＜1，EG＜1．但在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB与CD间距离为1，所以EG≥1，与EG＜1矛盾．
说明 在利用反证法证题时，推出的矛盾，可以是推出的事实与已知条件、已知定义、公理、定理相矛盾，也可以是推出的事实(如本题中的EG＜1)与推出的事实(如本题中的EG≥1)相矛盾．这一点要根据推证过程，灵活判断． 例7 已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数
3
中，至多有一个数不小于1．
证 假设a，b，c中至少有两个数不小于1，不妨设a≥1，b≥1，则
m≥n+p，n≥p+m．
两式相加，得2p≤0，从而p≤0，与p是正整数矛盾． 所以命题成立．
说明 “不妨设”是为了简化叙述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．
3a??或a??12∴所求a的范围为.
3.无穷性命题
即涉及各种“无限”结论的命题。 例 求证：2是无理数。
分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。
证明：假设2是有理数，则存在a,b?N.且a,b互质，使
2?a?a2?2b2b，从
2222而，a为偶数，记为a?2c，∴a?4c，∴2c?b，则b也是偶数。由a,b均为
偶数与a、b互质矛盾，故2是无理数。
例 求证：素数有无穷多个。
4