证明：假设素数只有n个： P1、P2??Pn，取整数N=P1·P2??Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、??Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。
4.逆命题
某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便。 例 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。 逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。 逆命题的证明：如图，若AB+CD＝AD+BC??（1），设四边
形ABCD不能有一个内切圆，则可作⊙O与其三边AD、DC、AB相切，而BC与⊙O相离或相交，过C作⊙O的切线交AB或延长线于点E,由正命题知：AE+CD＝AD+CE??（2）.当BC与⊙O相离时，（1）-（2）得AB-AE＝BC－CE?BC＝CE+BE，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当BC与⊙O相交时，（2）-（1）得AE-AB＝CE－BC?BC＝CE+BE，同样推出矛盾，则BC与⊙O不能相交或相离，BC与⊙O必相切，故四边形必有一个内切圆。
5.某些存在性命题
例 设x，y∈(0,1),求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax -
1by|≥3成立.
1证明：假设对于一切x , y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜3恒成立，令x = 0 , 11y = 1 ,则|b|＜3令x = 1 , y = 0 , 得| a| ＜3令x = y = 1 ,得| 1 - a - b| ＜11113但| 1 - a - b| ≥1 - | a| - | b| ＞ 1 -3-3=3产生矛盾,故欲证结论正确。
6.全称肯定性命题
即结论以“??总是??”、“??都??”、“??全??”等出现，这类肯定性命题可以用反证法试试。
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21n?4例 求证:无论n是什么自然数，14n?3总是既约分数。
21n?44n?3?kb证明：假设14n?3不是既约分数，令21n?4?ka（1），1（2）
（k,a,b?N,ka13kb?2ka?1?3b?2a?1）k，，且b为既约分数，由（2）×3-（1）×2得
1121n?43b?2a?k不成立，故假设不成立，分数14n?3是因3b?2a为整数，k为分数，则
既约的。
7.一些不等量命题的证明
如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。
例 已知a、b、c、d∈R，且ad-bc＝1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1。 证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd＝1，把ad－bc＝1代入前式得：a2+b2+c2+d2+ab+bc-ad+cd＝0 即（a+b）2+（b+c）2+（c+d）2+（a-d）2＝0 ∵a、b、c、d∈R∴a+b＝b+c＝c+d＝a-d＝0 ∵a＝b＝c＝d，从而ad-bc＝0与ad-bc＝1矛盾.故假设不成立，原命题成立.
例 在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC.
分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明。
证明：假设AB不大于AC，即AB≤AC，下面就AB＜AC或AB＝AC两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.
若AB＝AC，则△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，与已知∠C＞∠B矛盾.
若AB＜AC，在AB延长线上取一点D，使得AD=AC，连接DC. ∵AD=AC
∴△ADC为等腰三角形 ∴∠ADC＝∠ACD，又∵∠ABC为△ABD的一个外角 ∴∠ABC＞∠BDC＝∠ACD 而∠ACD＞∠ACB＝∠C ∴∠ABC＞∠C 即∠B＞∠C，与已知矛盾. ∴假设不成立，原命题成立
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例3 求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0．
分析 这个命题的条件是：如果x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根，结论是：那么bc≠0．而bC≠0的否定是bc=0，而bc=0有三种情况：(1)b=0，C=0；(2)b=0，c≠0；(3)b≠0，c=0． 证 假设bc=0．
(1)若b=0，c=0，方程变为x2=0，那么x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，这与已知条件中方程有两个不相等的非零实数根矛盾．
(2)若
b=0，c≠0，方程变为x2+c2=0，则x2+c2≠0，与x2+bx+c2=0矛盾．
(3)若b≠0，c=0，方程变为x2+bx=0，方程根为x1=0，x2=-b这与条件中方程有二个非零实数根矛盾．
综合(1)，(2)，(3)可知bc≠0．
例4 证明：x2-xy+y2+x+y不可能分解为两个一次因式的乘积． 分析 否定命题结论，然后利用恒等式比较系数，设法推出矛盾．
证 假设多项式x2-xy+y2+x+y能分解为两个一次因式的乘积，因为x2-xy+y2+x+y中不含常数项，所以上式可分解为
(ax+by)(cx+dy+e)(其中a，b，c，d，e均不为0)，所以 x2-xy+y2+x+y =(ax+by)(cx+dy+e)
=acx2+(ad+bc)xy+aex+bdy2+bey．
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比较系数得
由①，④得c=e，由③，⑤得d=e，从而c=d=e．又由④，⑤得a=b，所以②为 ad+be=bd+bd=2bd=-1，
分析与证明 (1)我们先来观察这一串数有什么特征．
11=2×5+1， 111=2×55+1， 1111=2×555+1， ??????
没有完全平方数．
(2)我们再用反证法来证明这一命题．
因为上式右端为偶数，所以a2-1也是偶数，所以a2为奇数．但a2-1=(a+1)(a-1)，由于(a+1)与(a-1)均为偶数，故可设
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a+1=2m，a-1=2n．
这样
8.基本命题
即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明。
例 已知：如图 AB⊥EF于M。CD⊥EF 于N。求证：AB∥CD 证明:假设AB,CD不平行，即AB,CD交于点P ，则过P点有AB⊥EF ，且CD⊥EF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾 。∴假设错误，则AB∥CD。
例1 在同一平面内，平行于同一直线的两条不同直线必定平行． 已知：(如图3－120)直线a，b，c中，a∥c，b∥c． 求证：a∥b．证(1)提出反设：假定ab．
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