(2)推出矛盾：由于ab，那么a，b必相交于一点，设为P．因为a∥c，b∥c，
那么过P点有a，b两条直线同时平行于c，与平行公理矛盾． (3)肯定结论：由(2)可知假设ab错误，所以a∥b． 说明 (1)本题证明中，利用“平行与相交”互为否定．
(2)本题证明中，写出了“(1)提出反设；(2)推出矛盾；(3)肯定结论”，目的是使读者体会反证法的论证步骤，在实际证明时，不必写出这三个小标题，直接写出反证法的证明过程即可．
例 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P,求证：a、b只有一个交点。
证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a, b。与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a, b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。
9.整除性问题
例 设a、b都是整数，a2+b2 能被3整除，求证：a和b都能被3整除. 证明：假设a、b不都能被3整除，分三种情况讨论：（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不能被3整除，矛盾.同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，原命题成立.
四. 运用反证法应注意的问题 1.必须正确否定结论
正确否定结论是运用反证法的首要问题。
如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”。
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2.必须明确推理特点
否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的. 一般总是在命题的相关领域里考虑（ 例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点。因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束。
3.了解矛盾种类
反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等
五、小结
反证法是数学中一种重要的证明方法, 是“数学家的最精良的武器之一”，在许多方面都有着不可替代的作用. 著名的英国数学家G.H.哈代对于这种证明方法作过一个令人满意的评论。在棋类比赛中，经常采用一种策略是“弃子取势”—牺牲一些棋子以换取优势。哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略；棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲的却是整个一盘棋。归谬法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的。它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用,只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨,提高数学解题能力.
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