可得悬点的位移、速度、加速度曲线为：
图2-5 悬点速度曲线
图2-6悬点加速度曲线
图2-7 悬点位移曲线
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第三章 抽油机诊断模型的建立及求解
3.1 杆柱动力学分析
抽油机井的计算机诊断是通过载荷传感器和位移传感器在地面测得不同时间光杆载荷和位移的变化关系（地面示功图），然后利用数学方法借助于计算机来求得各级抽油杆柱截面和泵上的载荷及位移（泵功图)，从而绘出井下示功图，并根据它们来判断和分析全套抽油设备的工作状况。
3.1.1 抽油杆微元体受力分析
为了研究抽油杆柱受力状况，作如下简化假设条件[1]： （1）假设抽油机各杆件为刚性体，不考虑其部件弹性变形； （2）电机作匀速转动，曲柄转动角速度为常数； （3）假设抽油杆柱为线弹性体；
（4）不考虑油管、液柱和抽油杆柱的耦合振动；
（5）抽油杆柱截面呈圆形，且同一级抽油杆柱，其截面积不变； （6）油管与抽油杆同心。
直井有杆泵抽油系统抽油杆在工作时，任意井深位置处截取单元杆
段和微元段进行单元体受力分析(如图3-1a、b所示)，抽油杆柱的轴向负荷由以下几项所组成：
图3-1 抽油杆柱微元受力示意图
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（1） 抽油杆柱自重，作用方向垂直向下；
（2） 油井液体对抽油杆柱的液体静压力，作用方向垂直于抽油杆柱
轴线向上；
（3） 油管内液柱在抽油泵有效面积（即柱塞面积减去相连抽油杆面
积）上所产生的液体负荷，其方向垂直于柱塞表面向下； （4） 油管外液柱对柱塞下表面的液体压力，其方向垂直于柱塞表面
向上；
（5） 抽油杆柱与液柱运动所产生的惯性负荷。惯性负荷正比于悬点
运动的加速度，方向相反；
（6） 抽油杆柱与液体运动所产生的振动负荷；
（7） 各运动部件之间的摩擦力，包括：抽油杆柱与井液的摩擦力。
作用于该单元体上的载荷包括：
???????????????????u?fx?ErAr????x?xfx??x??u??ErAr????x?x??x?u?t22fa??rArfd??e?u?t??x ( 3-1)
??xfw??rAr?xg式中 fx,fx+△x——抽油杆相应截面上的内力，N；
fa——单元体的惯性力（与加速度方向相反）,N；
fd——作用于单元体单位长度上的粘滞阻力（与速度方向相反），N；
fw——单元体重力，N；
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Er——抽油杆材料弹性模量,Pa； Ar——抽油杆横截面积,m2； ρr——抽油杆材料密度,kg/m3；
ve——单位长度抽油杆柱的粘滞阻力系数，kg/m﹒s。 根据抽油杆柱的微元体受力分析，其轴向力平衡条件：
?FX?0 （3-2）
将式（3-1）代入式（3-2）得到
2???u??u?u??u??ErAr?????x????rArg?????rAre2?x?x?t?t?x??x??x???
即
ErAr?u?x22??rAr?u?t22?x??e?u?t??rArg （3-3）
在直井中重力是静力，不影响方程（3-3）的结构，因而在波动方程
求解时可不予考虑，只须在求解静载荷和静位移时考虑重力项即可。
由式（3-3）可得描述抽油杆柱动力学特性的波动方程：
?u2 ?t2?a2?u?x22?c?u?t （3-4）
式中 α——声波传递速度，m/s；
a?Er?r c——阻尼系数，s-1。
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c??e?rAr
式（3-4）是一个线性二阶偏微分方程，必须结合边界条件才能求解。
3.2 诊断数学模型波动方程的建立与求解
抽油机井的计算机诊断是通过载荷传感器和位移传感器在地面测得不同时间。光杆载荷和位移的变化关系（地面示功图），然后通过数学模型求得抽油杆柱任意位置处的载荷与位移和泵处的载荷与位移关系（泵功图）。
3.2.1 诊断数学模型的建立
有杆抽油系统诊断数学模型包含描述抽杆柱动力学特性的波动方程、边界条
件和连续性条件（多级组合杆）[1]。
3.2.1.1边界条件
已知地面光杆位移为u1，u2，?uk；光杆动载荷为F1，F2，??Fk，则边界条件为：
u1,1=-u1,u1,2=-u2;??;
u1,k=-uk (3-5)
?u?xu2,1?u1,1?x?u?xu2,2?u1,2?xF1?EA|1,1?EA
?u?x|1,k?EAF2?EA|1,2?EA
??；
u2,1?F1?xEA?u1Fk?EAu2,k?u1,k?x
由上式；
u2,2?F2?xEA?u2；??；
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