这种差分格式就认为是稳定的。
根据对诊断数学模型的波动方程的差分求解，其差分格式和波动方程的求解图示为
1
时间(j)方向 2
3
4
N-1 N-2 N-3
杆0
柱方向1 X(i) 2
M
图3-4 波动方程补格求解示意图
3.3 节点载荷及位移计算
抽油杆柱在垂直井的载荷由动载荷和静载荷两部分组成[1]。
（1） 动载荷
任意节点i在j时刻的动载荷以Fij表示
?ui?1,j?ui?1,jFij?ErAr??2?x??? （3-22） ?? 对于悬点载荷（光杆载荷）F0j，结合虎克定律采用牛顿前插公式。
ErAr?31??u??F0j?ErAr???u?2u?u0,j1,j2.j????x?22??x?0,j? （3-23）
对于泵载荷FN,j，结合虎克定律采用牛顿后插公式
ErAr?3??u?FN,j?ErAr????uN,j?2u?x?2??x?N,j?N?1,j1?uN?2,j?2? （3-24）
（2）静载荷
21
在上冲程时，杆柱i点的静载荷应该等于i+1静载荷加上两节点之间的杆柱在空气中的重力，若对于多级组合杆，中间有截面变化，则还要减去截面变化处液体压力乘上横截面积之差。在泵处，上冲程时固定固定凡尔打开，游动凡尔关闭，其静载荷为
FjN,j?p0(Ap?Ar)?piAp （3-25）
式中 p0——泵排出压力，Pa； Pi——泵吸入压力，Pa。
在下冲程时，固定凡尔关闭，游动凡尔打开，其静载荷为
FjN,j??p0Ar （3-26）
（3) 节点位移
在垂直井中抽油杆柱任意节点的总位移等于节点位移加上由于自重产生的静变形，减去由于浮力使得杆柱的缩短。
设第i级杆的浮重为
??f?? （3-27） Wrbi?Wri?1???r???式中 Wrbi——第i级杆在空气中的重力，N； Wri——第i级杆在井液中的重力，N；
ρr——抽油杆密度，kg/m3； ρf——井液密度，kg/m3。
则长度为li的第i级杆，由于浮重产生的静伸长量δsi：
?si?liEriAri?Wrbi??2???Wrbj?j?i?1?M （3-28）
第i级杆下端的静位移usi为
22
usi??? （3-29）
sjj?1i泵处的静位移usp为
usp? ?? （3-30）
sjj?1m在任意时刻j节点i的总位移是动位移和静位移两部分之和，即：
s(i,j)?usi?u(i,j) （3-31）
3.4 阻尼系数的确定
抽油机井筒内的阻尼力主要有抽油杆柱、接箍与液体之间的粘滞力、杆柱及接箍与油管之间的非粘滞性摩擦力；光杆与盘根之间的摩擦力；泵柱塞与泵筒之间的摩擦损失，泵阀和阀座内孔的流体压力损失等。现计算粘滞阻尼系数的公式较多，本文采用张琪基于等摩擦功原理推导出的粘滞阻尼系数计算公式[7]。
C????2???142?(B?1)B??1?1???rAr?lnmB2(?L/a)/sin(?L/a)?cos(?L/a)??? （3-32）
其中 m?Dt/Dr ???n30
2B1?m?12lnm?1
B2?m?1?4(m?1)lnm22
式中 Dr ——抽油杆直径，m；
Dt——油管内径，m； μ——液体动力粘度，Pa.s；
23
ρr——抽油杆密度，kg/m3； Ar——抽油杆截面积，m2； L——抽油杆长度，m。
对于混合杆阻尼系数，采用变步长有限差分，求出每一级杆的阻尼系数，或者采用求混合杆的平均阻尼系数。本文采用平均阻尼系数法。
3.4.1 多级杆阻尼系数的计算
对于多级组合抽油杆柱，由于各级抽油杆直径不同，杆管的环形截面积不
同，同样长度的各级杆在一个循环中的粘滞摩擦功也不同。因此，需要分级进行计算，多级杆中每级杆柱阻尼系数的计算公式可写为[15]
????i?uLr?u??Li?1?0|i?ldtdx??2?2??14?ii?t?t?Bi???cr??B?1????（3-33） 112iii???r?r?lnmB2iLr??u??Li?1?0?dtdx???????t??????式中，i为自上而下抽油杆柱的级数，i=1，2，?，n；Li为第i级杆的下部深度，m；L为泵深，m。
在计算式（3-27）中积分时，把多级杆近似地按单级杆处理，则
?u?t?S2??cos???xa?tg?lasin?x?（3-34） sin?t?
a??u?t|x?L?S?sin?t2cos?la （3-35）
把式（3-28）和式（3-29）代入式（3-27），积分后得：
2?2???11ii?B?1B?R c?（3-36） ????? 11i?i?r?r?lnmiB2?ir式中
24
???Li?Li?11?lR?2?YA?YB???sin?YC?YD??????1
?a?2cosl2aaii?1YA?sin?La?sin?La
i?1Y??L?Li?B??cosa?cosa?tg?L
??aii?1sin2?L2?LYa?sinaC?2?L
tgai?1Y2?L2?LiD?cosa?cosa
??25