u2,k?Fk?xEA?uk （3-6）
式（3-5）与式（3-6）即有限差分方程的边界条件。
即：
U(x.t)F(x,t)U(x.t)x?0?U(t)?L(t)?Wr?D(t) （3-7） ?D(t)?xEA?U(t)x?0x?1式中 Wr——抽油杆柱在井液中的重量，N；
L(t)——实测示功图载荷,N； D(t)——光杆动载荷，N。
3.2.1.2 连续性条件
对于不同材料的组合多级杆,则由两杆交界处的力与位移连续条件，即：
??Fi,j???Fi,j??12?u?u???i,j?1?i,j?2 （3-8）
诊断数学模型包括边界条件（抽油机悬点运动规律，光杆实测试功图）、波动方程、连续性条件构成抽油系统诊断的数学模型。
2??2U(x,t)?U(x,t)2?U(x,t)?a?c?22?t?t?x??U(x.t)x?0?U(t)??F(x,t)x?0?L(t)?Wr?D(t)?D(t)?x?U(x.t)??U(t)x?1?EA??F???Fi,j?2?i,j1??u???u?i,j?i,j1 （3-9）
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式中 Wr——抽油杆柱在井液中的重量，N；
L(t)——实测示功图载荷,N； D(t)——光杆动载荷，N。
由诊断模型可以求出井下抽油杆柱任意断面和泵处的功图
3.2.2 诊断模型的有限差分法
3.2.2.1 等步长有限差分解
可以用戴劳级数推导出波动方程的有限差分解。设驴头下死点为x坐标原点，向下为正。u（x，t）也以向下为正，△x为x的的步长，△t为时间步长，足标i表示位置，j表示时间，则
(???t2)i,j??i,j?1??i,j?t （3-10）
(???t22)i,j??i,j?1?2?i,j?Ui,j?1?t2 （3-11）
(???x2)i,j??i?1,j?2?i,j??i?1,j?x2 （3-12）
将式（3-10）、（3-11）、（3-12）代入式（3-4）并经整理得
ui?1,j??x? ???2ui,j?ui?1,j （3-13）?1???t?ui,j?1??2???t?ui,j?ui,j?1??????c?t?2（3-13）式即是诊断模型的等步长有限差分解。
有限差分解ui，j项的系数如果是负值的话，则其解是不稳定的。所以，为了使其解是稳定的，必须满足以下条件：
?xc?t?1 （3-14）
3.2.2.2 变步长有限差分解
对于不同材料和杆径的诊断模型，结合振动的微分方程和力和位移的连续性条件，采用有限差分格式可以得到多级组合抽油杆柱的有
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限差分解形式。用计算机进行计算，可以得到井下抽油杆柱任意断面和泵处的功图[1]。
数学模型仍采用式（3-3）去掉重力项。由于考虑到截面尺寸和材料可能是变化的，故将方程改写成为
?u?t22????u??uEA??'crr?rAr?x??x??t??1 （3-15）
对于不同杆径或材料的杆界面处的条件，可以根据以下两个连续条件得出
???Fi,j?1??Fi,j?2??u???ui,j?2??i,j1 （3-16）
结合式（3-10）、（3-11）、（3-12）用牛顿差分公式代入式（3-4）可以得出不同材料与杆径诊断模型的有限差分解为
??s??sui?1,j?ui,j?1???2???2?s??s??1??2?????ui,j?1s?ui?1,j1?ui,j?? (3-17) ????2?2?2???其中
?i??xiEriAri2?ai?t?2； ?i??xiEriAri?i2ai?t ； ?i?EriAri?xi
在非界面处
?1??2 ； ?1??2； ?1??2；
?s??1??2 ； ?s??1??2
Eri ——第i级杆所对应的弹性模量，Pa； Ari——第i级杆所对应的面积，m2； Δxi——第i级杆所对应的步长，m； Δt——时间方向上的步长，s。
诊断模型的有限差分解的时间步长应满足
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?xc?t?1 （3-18）
?xc即 ?t?
对于多级抽油杆必须满足下式,才能满足使式（3-17）解的稳定。
?t?(1.1~1.3)?x?i?maxc（i=1?M抽油杆级数） （3-19）
对于诊断模型，时间步长Δt的选取,在满足解收敛的条件下，Δt越小，精度越高，计算时间越长。
3.2.3 诊断模型的求解
诊断技术是准确了解有杆抽油系统工作状况的有效方法，将抽油系统工作实
际测得的示功图进行离散处理，通过描述抽油杆振动的微分方程的边界条件和初始条件，计算各级杆端的应力和位移，绘制井下示功图。对于多级杆柱，以光杆位移作为第一层边界条件，以光杆位移和载荷计算出第二层位移作为第二层位移边界条件，以此类推采用补格法计算全部节点可求得各级杆柱断面和泵处示功图。
求解诊断数学模型的关键问题是对描述抽油杆动力学特征的波动方程进行求解，根据式（3-13）可知，诊断模型的波动方程求解可以用图（3-2）～（3-4）表示。
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图3-2 有限差分格式 图3-3 波动方程的差分三角形
（1）i=0,第一层（即地面值）位移由位移传感器测得：
u(x,t)|x?0?u(t)?u0,j (3-20)
（2）i=1,第二层可由载荷传感所测得的载荷和地面位移，根据虎克定律获得。
u1,j?F0,j?xErAr?u0,j (3-21)
（3）i?2，从第三层起，就得用差分方程计算各节点的位移。但是在用差分方程计算各层的第一个节点位移时，ui,j?1是不存在的。另外，在计算每一层最后一个节点位移时，ui,j?1也是不存在的，原因是由于j?1,2,3,?,n。例如，要计算ui?1,1需要知道ui,0，而它是不存在的，要计算ui?1,n，需要知道ui,n?1，它也是不存在的。为了解决这个问题，根据周期函数特点，可补充下列关系：ui,0?ui,n；
ui,n?1?ui,1，这实际上是波动方程的两个初始条件，这样，就可以通过补格的办
法求出全部未知点的位移。
利用差分法求解时，一个很重要的问题就是解的稳定性。差分格式的计算是逐层进行的，计算ui?1,j时，要用到上两层计算出来的结果
ui?1,j、ui,j和ui,j?1，因此，计算误差必然会影响到ui?1,j的值，从而就要分
析这种误差传播情况，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，那么这种差分格式称为不稳定的。相反，如果误差的影响是可以控制的，差分格式的解基本上能计算出来，那么，
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