【分析】（1）根据垂直的定义和垂直平分线的判定好小子即可求解；
（2）如图2，连结BD，先证明四边形ABDC是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质和垂直平分线的性质即可求解；
（3）如图3，过点H作HN⊥AB，垂足为N，在Rt△ABF中和在Rt△BNH中，根据三角函数的定义即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，BF⊥AC， ∴∠BEM=∠BFA=90°，
∴∠EBM+∠BME=90°，∠ABF+∠BAF=90°， ∴∠BME=∠BAC， ∴∠BDM=∠BMD， ∴BD=BM， ∵AB⊥CD，
∴AB是MD的垂直平分线， ∴AD=AM；
（2）证明：如图2，连结BD， ∵AB⊥CD，BF⊥AC， ∴∠BEM=∠BFA=90°， ∵∠EBM=∠FBA， ∴∠BME=∠BAF，
∴四边形ABDC是圆内接四边形， ∴∠BDM=∠BAC， ∴∠BDM=∠BMD， ∴BD=BM， ∵AB⊥CD，
∴AB是MD的垂直平分线，
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∴AD=AM；
（3）解：如图3，过点H作HN⊥AB，垂足为N． 易知∠AHN=∠ABF=∠C， 在Rt△ANH中，设HM=3m， ∵tan∠AHN=tan∠C=∴AN=4m， ∴AH=5m， ∵BH平分∠ABF， ∴HN=HF=3m， ∴AF=AH+HF=8m，
在Rt△ABF中，∵tan∠ABF=tan∠C=∴BF=6m， ∴AB=10m， ∴BN=AB﹣AN=6m，
∴在Rt△BNH中，tan∠NBH=∴tan∠ABH=．
==，
=，
=，
【点评】本题考查了圆的综合，涉及了圆内接四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及垂直平分线的性质，三角函数，解答本题的关键是掌握数形结合思想运用．
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24．（12分）（2016?莱芜）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3），直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；
（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，运用待定系数法求这个二次函数的解析式；
（2）如图2，先求直线BC的解析式为y=x﹣2，设出点E的坐标，写出点G的坐标（﹣m2+3m+8，﹣m2+m+2），求出EG的长，证明∴△EFG∽△DOB，根据相似三角形周长的比等于相似比表示△EFG周长═
（﹣m2+2m+8）=
[﹣（m﹣1）2+9]，根据二次函数的顶点确定其最值；
（3）分二种情况讨论：分别以D、B两个顶点为直角时，列方程组，求出点E的坐标，根据两垂直直线的一次项系数为负倒数得出结论．
【解答】解：（1）如图1，把A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y=ax2+bx+c中，得：
，
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解得：，
则二次函数的解析式y=﹣x2+x+2； （2）如图2，设直线BC的解析式为y=kx+b， 把B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y=kx+b中得：解得：
，
，
∴直线BC的解析式为y=x﹣2， 设E（m，﹣m2+m+2），﹣2＜m＜4， ∵EG⊥y轴，
∴E和G的纵坐标相等， ∵点G在直线BC上，
当y=﹣m2+m+2时，﹣m2+m+2=x﹣2， x=﹣m2+3m+8，
则G（﹣m2+3m+8，﹣m2+m+2）， ∴EG=﹣m2+3m+8﹣m=﹣m2+2m+8， ∵EG∥AB， ∴∠EGF=∠OBD， ∵∠EFG=∠BOD=90°， ∴△EFG∽△DOB， ∴
=
，
∵D（0，﹣2），B（4，0）， ∴OB=4，OD=2， ∴BD=∴
=2=﹣
，
，
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∴△EFG的周长==
（﹣m2+2m+8），
[﹣（m﹣1）2+9]，
；
∴当m=1时，△EFG周长最大，最大值是（3）存在点E， 分两种情况：
①若∠EBD=90°，则BD⊥BE，如图3， 设BD的解析式为：y=kx+b， 把B（4，0）、D（0，﹣2）代入得：解得：
，
，
∴BD的解析式为：y=x﹣2， ∴设直线EB的解析式为：y=﹣2x+b， 把B（4，0）代入得：b=8， ∴直线EB的解析式为：y=﹣2x+8， ∴
，
﹣x2+x+2=﹣2x+8， 解得：x1=3，x2=4（舍）， 当x=3时，y=﹣2×3+8=2， ∴E（3，2），
②当BD⊥DE时，即∠EDB=90°，如图4， 同理得：DE的解析式为：y=﹣2x+b， 把D（0，﹣2）代入得：b=﹣2， ∴DE的解析式为：y=﹣2x﹣2， ∴
，
解得：
，
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