第一章 集合与函数概念
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列 举 法 集合与函数概念 集合 映射 函数 集 合 表 示 法 集 合 的 关 系 集 合 的 运 算 映射的概念 函数 及其表示 函数基本性质 描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 交 集 并 集 补 集 子集与真子集 函数的概念 函数的表示法 单调性与最值 函数 的 奇偶性 第一讲 集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 文字语言 属于 不属于 符号语言 ? ? 正整数集 N?或N? 4.常见集合的符号表示 数集 符号 自然数集 整数集 N Z 有理数集 Q 实数集 复数集 R C
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二： 集合间的基本关系 表示 关系 相等 都相同 子集 真子集 A中任意一元素均为B中的元素 A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素符号语言 A?B且B?A? A?B A?B或B?A AB ??A，?B（B??） 三：集合的基本运算
①两个集合的交集:A②两个集合的并集: AB= ?xx?A且x?B?; B=?xx?A或x?B?;
③设全集是U,集合A?U,则CUA?xx?U且x?A
交集 并集 补集 ??AB?{x|x?A,且x?B} AB?{x|x?A,或x?B} CUA??xx?U且x?A? 方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.
★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集
合的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如xy?f(x)、yy?f(x)、(x,y)y?f(x)等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：
??????
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问题：已知集合P?{x|y??x?1} ,集合Q?{y|y?x?1},则P与Q的关系是?
A. P=Q B.P?Q C.P Q D.P?Q??
[错解]误以为集合Q表示关于x的元素，Q={x|x?1}，选C. [正解] B； 显然P?{x|x??1},Q?{y|y?0}，故P?Q
(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。
3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即??A （2）任何集合都是它本身的子集，即A?A
（3）子集、真子集都有传递性，即若A?B，B?C，则A?C 4．集合的运算性质
（1）交集：①A?B?B?A；②A?A?A；③A????；④A?B?A，A?B?B⑤A?B?A?A?B；
（2）并集：①A?B?B?A；②A?A?A；③A???A；④A?B?A，A?B?B⑤A?B?A?B?A； （3）交、并、补集的关系 ①A?CUA??；A?CUA?U
②CU(A?B)?(CUA)?(CUB)；CU(A?B)?(CUA)?(CUB)
第2讲 函数与映射的概念
★知识梳理
1．函数的概念 (1)函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y?f(x),x?A (2)函数的定义域、值域
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在函数y?f(x),x?A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y?f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)x?A称为函数y?f(x)的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念
设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为
??f:A?B
★重、难点突破
重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数y?f(x)的定义域为[a，b]，求y?f(x?2)的定义域
[误解]因为函数y?f(x)的定义域为[a，b]，所以a?x?b，从而a?2?x?2?b?2 故y?f(x?2)的定义域是[a?2,b?2]
[正解]因为y?f(x)的定义域为[a，b]，所以在函数y?f(x?2)中，a?x?2?b， 从而a?2?x?b?2，故y?f(x?2)的定义域是[a?2,b?2] 即本题的实质是求a?x?2?b中x的范围
问题2：已知y?f(x?2)的定义域是[a，b]，求函数y?f(x)的定义域 [误解]因为函数y?f(x?2)的定义域是[a，b]，所以得到a?x?2?b，从而
a?2?x?b?2，所以函数y?f(x)的定义域是[a?2,b?2]
[正解]因为函数y?f(x?2)的定义域是[a，b]，则a?x?b，从而a?2?x?2?b?2 所以函数y?f(x)的定义域是[a?2,b?2] 即本题的实质是由a?x?b求x?2的范围 即f(x)与f(x?2)中x含义不同 1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数y??2
x2?4x?6，
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可变为y??2(x?1)2?8解决
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数
y?log1(?x2?2x?3)就是利用函数y?log1u和u??x2?2x?3的值域来求。
222x?1的值域
x2?2x?212x?1由y?2得yx2?2(y?1)x?2y?1?0，若y?0，则得x??，所以y?02x?2x?2（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y?是函数值域中的一个值；若y?0，则由??[?2(y?1)]2?4y(2y?1)?0得
3?133?133?133?13?y?且y?0，故所求值域是[,] 22222cosx?3的值域，因为
cosx?12cosx?3555y??2??(??,?]，故 ，而cosx?1?(0,2]，所以?cosx?1cosx?1cosx?121y?(??,?]
23x（5）利用基本不等式求值域：如求函数y?2的值域
x?4（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y?当x?0时，y?0；当x?0时，y?3x?4x，若x?0，则x?44?2x??4 xx若x?0，则x?44433??(?x?)?2(?x)?()?4，从而得所求值域是[?,]
44x?x?x（6）利用函数的单调性求值域：
（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。
[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f(x)?（2）f(x)?x2，g(x)?3x3；
xx，g(x)??x?0,?1
??1x?0;（3）f(x)?2n?1x2n?1，g(x)?(2n?1x)2n?1（n∈N*）； （4）f(x)?x2x?1，g(x)?2x2?x；
（5）f(x)?x?2x?1，g(t)?t?2t?1
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