设函数y?f(x)，如果在某区间I上f?(x)?0，那么f(x)为区间I上的增函数； 如果在某区间I上f?(x)?0，那么f(x)为区间I上的减函数；
1． 函数的最大（小）值
设函数y?f(x)的定义域为A
如果存在定值x0?A，使得对于任意x?A，有f(x)?f(x0)恒成立，那么称f(x0)为y?f(x)的最大值；
如果存在定值x0?A，使得对于任意x?A，有f(x)?f(x0)恒成立，那么称f(x0)为y?f(x)的最小值。
★重、难点突破
重点：掌握求函数的单调性与最值的方法
难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值 重难点：1.对函数单调性的理解
（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域；
（2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即
x1?x2(x1?x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
{ （3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间I上f?(x)?0（f?(x)?0）仅是f(x)为区间I上的增函数（减函数）的充分不必要条件。 } （4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明y?f(x)在某区间I上的单
调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区间I上的两个特殊值来代替。而要证明y?f(x)在某区间I上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I上两个特殊的x1，x2，若x1?x2，有
f(x1)?f(x2)即可。{ 如果用导数证明y?f(x)在某区间I上递增或递减，那么就证明在某区间I上f?(x)?0或f?(x)?0。} （5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y?1分别在(??,0)x和(0,??)内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(??,0)?(0,??)内是单调递
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减的，只能说函数y?1的单调递减区间为(??,0)和(0,??) x（6）一些单调性的判断规则：①若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么。{ ②复合函数的单调性规则是“异减f(x)?g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）同增”
}
2．函数的最值的求法
（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。
{（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法 } （5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
第5讲 函数的奇偶性
1．函数的奇偶性的定义：
① 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)??f(x)〔或f(?x)?f(x)?0〕，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
② 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)?f(x)〔或f(?x)?f(x)?0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。
③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
★重、难点突破
重点：函数的奇偶性，函数的奇偶性、单调性的综合应用
难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性的综合应用
重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)??1(f(x)?0),也可以利用函数图象的f(x)对称性去判断函数的奇偶性.注意①若f(x)?0,则f(x)既是奇函数又是偶函数,若②若f(x)是奇函数且在x?0处有定义，则f(0)?0f(x)?m(m?0),则f(x)是偶函数；
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③若在函数f(x)的定义域内有f(?m)?f(m)，则可以断定f(x)不是偶函数，同样，若在函数f(x)的定义域内有f(?m)??f(m)，则可以断定f(x)不是奇函数。 2．奇偶函数图象的对称性
（1） 若y?f(a?x)是偶函数，则f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)?f(x)的图象关于直线x?a对称；
（2） 若y?f(b?x)是奇函数，则f(b?x)??f(b?x)?f(2b?x)??f(x)?
f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；
x2?ax?4(x?0)。 5.（高州中学09届模拟）已知函数f(x)?x （Ⅰ）若f(x)为奇函数，求a的值； [解析]（Ⅰ）f(x)的定义域关于原点对称
(?x)2?a(?x)?4??f(x) ∴a?0 若f(x)为奇函数，则f(?x)??x?2x?b备选例题：（06年重庆）已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。
2?a（Ⅰ）求a,b的值；
b?11?2x?0?b?1?f(x)?[解析]（Ⅰ）因为f(x)是奇函数，所以f(0)?0，即 a?2a?2x?111?2又由?f,(1)??f(?1)知??2?a?2.
a?4a?11?题型1：判断有解析式的函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·1?x； 1?x?x(1?x)1?x2（3）f(x)?；（4）f(x)??|x?2|?2?x(1?x)(x?0),
(x?0).[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。
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[解析] （1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由
1?x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）1?x既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
?1?x2?0,??1?x?1,由?得? ?|x?2|?2?0,?x?0且x??4.故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.
1?(?x)21?x21?x21?x2从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x）
xxx?2?2?x故f（x）为奇函数.
（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数.
1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或【名师指引】○
偶函数的定义域为D, 则x?D时?x?D) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③○判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 题型2：证明抽象函数的奇偶性
[例2] （09年山东梁山）定义在区间(?1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y?(?1,1)， 都有f(x)?f(y)?f(求证f (x)为奇函数；
[思路点拨]欲证明f(x)为奇函数，就要证明f(?x)??f(x)，但这是抽象函数，应设法充 分利用条件“对任意的x,y?(?1,1)，都有f(x)?f(y)?f(“赋值”
[解析]令x = y = 0，则
f (0) + f (0) = f(x?y). 1?xyx?y)”中的x,y进行合理 1?xy0?0)?f(0) 1?0∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)
x?x ∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0 21?x ∴ f (－x) =－f (x) ∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数
【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的
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不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2) [新题导练]
1．（09广东电白一中）设函数f?x??x2?1?x?a?为奇函数，则a?___________。 [解析]0；由函数f?x??x2?1?x?a?为奇函数得到f?0??0，即02?1?0?a??0 所以a?0
2．（高州中学09届训练题）已知函数f(x)?ax2?bx?3a?b是定义域为[a?1,2a]的偶函数，则a?b的值是（ ）
??????1A．0；B．；C．1；D．?1
3[解析]B；由函数f(x)?ax2?bx?3a?b是定义域为[a?1,2a]的偶函数得b?0，并且
a?1??2a，即a?1，所以a?b的值是0 3[例3] （普宁市城东中学09）已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数，若
f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。
[思路点拨]欲求m的取值范围，就要建立关于m的不等式，可见，只有从
f(m?1)?f(2m?1)?0出发，所以应该利用f(x)的奇偶性和单调性将外衣“f”脱去。
[解析]
f(x)是定义在(?2,2)上奇函数
?对任意x?(?2,2)有f??x???f?x?
由条件f(m?1)?f(2m?1)?0得f(m?1)??f(2m?1)=f(1?2m)
f(x)是定义在(?2,2)上减函数
12?m? 2312?实数m的取值范围是??m?
23??2?1?2m?m?1?2，解得?【名师指引】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式
5．（普宁市城东中学09届高三模拟）若f(x)是奇函数，且在?0,???内是增函数，又f(3)?0，则xf(x)?0的解集是（ ） A.{x?3?x?0或x?3}；B.{xx??3或0?x?3}
C.{xx??3或x?3}； D.{x?3?x?0或0?x?3}
[解析]D；因为f(x)在?0,???内是增函数，f(3)?0，所以当0?x?3时，f(x)?0；
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当x?3时，f(x)?0，又因f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以当?3?x?0时，
f(x)?0；当x?3时，f(x)?0，可见xf(x)?0的解集是{x?3?x?0或0?x?3}
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