[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析] （1）由于f(x)?所以它们不是同一函数.
（2）由于函数f(x)?x2?x，g(x)?3x3?x，故它们的值域及对应法则都不相同，
xx的定义域为(??,0)?(0,??)，而g(x)??x?0,?1的定
?1x?0;?义域为R，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f(x)?2n?1x2n?1?x，g(x)?(2n?1x)2n?1?x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数f(x)?xx?1的定义域为xx?0，而g(x)???x2?x的定义域
为xx?0或x??1，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如f(x)?x2?1，
??f(t)?t2?1，f(u?1)?(u?1)2?1都可视为同一函数.
考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数f(x)?1ln(x2?3x?2??x2?3x?4)的定义域为( ) xA.(??,?4)?[2,??);B.(?4,0)?(0,1)；C. [,?4,0)?(0,1];D. [,?4,0)?(0,1) [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 [解析]欲使函数f(x)有意义，必须并且只需
?x2?3x?2?0?2??x?3x?4?0?x?[?4,0)?(0,1)，故应选择D ?22?x?3x?2??x?3x?4?0?x?0? 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义
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域不要漏写。
题型2：求抽象函数的定义域
2?xx??2?，则f????f??的定义域为（ ） 2?x?2??x?A. ??4,0???0,4?；B. ??4,?1???1,4?；C. ??2,?1???1,2?；D. ??4,?2???2,4?
x??2?[解题思路]要求复合函数f????f??的定义域，应先求f(x)的定义域。 ?2??x?[例3]（2006·湖北）设f?x??lg??2??2?x??0得，f(x)的定义域为?2?x?2，故?[解析]由
2?x??2???解得x???4,?1?x?2,2 2?2.x?x??2?f?f。故1,4????的定义域为??4,?1???1,4?.选B. ???2??x?【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数f(x)的定义为[a,b]，则函数f[g(x)]的定义域是满足不等式a?g(x)?b的x的取值范围；一般地，若函数f[g(x)]的定义域是[a,b]，指的是x?[a,b]，要求f(x)的定义域就是x?[a,b]时g(x)的值域。
[例4]已知函数y?x2?4ax?2a?6(a?R)，若y?0恒成立，求f(a)?2?aa?3的值域
[解题思路]应先由已知条件确定a取值范围，然后再将f(a)中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意，y?0恒成立，则??16a2?4(2a?6)?0，解得?1?a?所以f(a)?2?a(a?3)??(a?3， 2f(a)min3217)?，从而f(a)max?f(?1)?4，2431919?f()??，所以f(a)的值域是[?,4]
244【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。
[新题导练]
3.（2008安徽文、理）函数f(x)?x?2?1log2(x?1)的定义域为 ．
?x?2?1?0[解析] [3,??)；由?解得x?3
?x?1?0,x?1?14．定义在R上的函数y?f(x)的值域为[a,b]，则函数y?f(x?1)的值域为( )
A．[a?1,b?1]；B．[a,b]；C．[a?1,b?1]；D．无法确定
[解析] B；函数y?f(x?1)的图象可以视为函数y?f(x)的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的
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5．(2008江西改) 若函数y?f(x)的定义域是[1,3]，则函数g(x)? f(2x)的定义域是 x?1[解析] [,1)?(1,]；因为f(x)的定义域为[1,3]，所以对g(x)，1?2x?3但x?1故
123213x?[,1)?(1,]
22基础巩固训练：
1．(2007·广东改编) 已知函数f(x)?11?x的定义域为N，g(x)?ln(1?x)的定义域为
M，则M?N? [解析] (?,??)；因为M?(?1,??),N?(??,1),故M?N?R 2．函数y?log1(3x?2)的定义域是
3[解析] (23,1]；由0?3x?2?1得到
2?x?1 32x?13．函数y?x的值域是 2?12x?1y?1y?1xx?0，即[解析](?1,1)；由y?x知y?1，从而得2?，而2?0，所以
1?y1?y2?1?1?y?1
5．（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射是（ ）
A．A?{x|x?0},B?R,f:x?|y|?x2 B．A?{?2,0,2},B?{4},f:x?y?x2 C．A?R,B?{y|y?0},f:x?y?D．A?{0,2},B?{0,1},f:x?y?1 x2x 2[解析]D；根据映射的定义知，构成从集合A到集合B的映射是D 6．（09年执信中学）若函数y?x?3x?4的定义域为[0,m],值域为[?范围是（ ）
225，?4]，则m的取值4??）3]； C．[，4]；D．[，A．?0,4?；B．[，
22[解析]B；因为函数y?x?3x?4即为y?(x?)?32323232325，其图象的对称轴为直线x?，
24其最小值为?25，并且当x?0及x?3时，y??4，若定义域为[0,m]，值域为4
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[?253，?4]，则?m?3 42第3讲 函数的表示方法
★知识梳理
一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破
重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式
重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数f(x)满足f(2x?1)?4x?6x?5，求f(x) 方法一：换元法
令2x?1?t(t?R)，则x?22t?1t?12t?1)?6??5?t2?5t?9(t?R) ，从而f(t)?4(222所以f(x)?x?5x?9(x?R) 方法二：配凑法
因为f(2x?1)?4x?6x?5??(2x?1)?10x?4?(2x?1)?5(2x?1)?9 所以f(x)?x?5x?9(x?R) 方法三：待定系数法
因为f(x)是二次函数，故可设f(x)?ax?bx?c，从而由f(2x?1)?4x?6x?5可
2求出a?1、b??5、c?9，所以f(x)?x?5x?9(x?R)
222222（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 问题2：已知函数f(x)满足f(x)?2f()?3x，求f(x) 因为f(x)?2f()?3x??①
1x1x
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111代x得f()?2f(x)?3???② xxx12由①②联立消去f()得f(x)??x(x?0)
xx以
8．设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(?x?2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式。 [解析] f(x)?228x?x?1；设f(x)=ax2+bx+c， 77?b??2 2a由f(x)满足f(x－2)=f(－x－2)，可得函数y=f(x)的对称轴为x=－2，所以由y=f(x)图象在y轴上的截距为1，可得f(0)?1，即c=1 由y=f(x) 图象在x轴上截得的线段长为2，可得
bc|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?(?)2?4?2
aa2??b2ca???(?)?4?27aa??8??所以联立方程组?c?1，可解得?b?
7???b?c?1???2???2a?所以f(x)=
228x?x?1. 77第4讲 函数的单调性与最值
★知识梳理
函数的单调性定义：
设函数y?f(x)的定义域为A，区间I?A
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y?f(x)的单调增区间
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y?f(x)的单调减区间
如果用导数的语言来，那就是：
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