LTE OFDM、SC-FDMA原理介绍
成本，OFDM逐步在通信领域得到了广泛的应用，并且成为了高速移动通信中的主流技术。OFDM使用相互重叠但正交的窄带传输数据，相比传统的多载波系统具有更高的频谱利用率。3gpp选择OFDM作为LTE下行数据传输制式。
由于OFDM信号是多个子载波信号的叠加，所以存在较高的PAPR(峰均比)，对功放的要求较高，不适合于上行使用，所以为了克服OFDM的缺点，3gpp在上行引入了单载波频分多址(SC-FDMA: Single Carrier Frequency Division Multiple Access)机制，SC-FDMA是OFDM的一种修正形式，和OFDM使用多载波并行方式传输数据相比，SC-FDMA采用单载波串行方式传输数据，从而具有较低的PAPR。
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3.1
数字信号处理相关知识介绍
傅里叶变换
概述
3.1.1
3.1.1.1 连续周期信号的傅里叶级数
设x(t)是一个复正弦信号，记作x?t??Xej?0t，式中X是幅度，?0是频率，其周期T?2?/?0。若
x(t)由无穷多个复正弦所组成，且其第k个复正弦的频率是?0的k倍，其幅度记为X?k?0?，则x(t)可表示为
x?t??式中X?k?0?是傅里叶系数，其值应是有限的，且有
k???jk?0t 指数形式的傅里叶级数 ??Xk?e?0?1X?k?0???2Tx?t?e?jk?0tdt
T?23.1.1.2 连续非周期信号的傅里叶变换
设x(t)是以连续时间信号，其傅里叶变换定义为
TX?j????x?t?e?j?tdt
???其反变换是
x?t??12?????X?j??ej?tdt
3.1.1.3 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）
对任一序列x(n)，其傅里叶变换为
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????x?n?ej?n?????j?n
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其逆变换为：
x?n??12???????Xej?ej?nd?
3.1.1.4 离散时间周期信号的傅里叶级数(DFS)
对离散周期信号，得到如下两组变换式：
2???X?k???x?n?exp??jnk?
N??n?0~N?1~k???~??
1x?n??N~?2????Xkexpnk? n???~?? ?j?N??k?0N?1~3.1.1.5 小结
傅里叶级数对应的是周期信号，而傅里叶变换对应的是非周期信号；前者要求信号在一个周期内的能量是有限的，而后者要求信号在整个时间区间内的能量是有限的。
综上所述，共有四种形式的傅里叶变换，如图1.1所示。
图 3-1 四种形式的傅里叶变换
由此图可以看出，若x在时域是周期的，那么在频域X一定是离散的，反之亦然。同样，若x是非周期的，X一定是连续的，反之也成立。第四种（即DFS）在时域和频域都是离散的，且都是周期的，周期都为N点。在1.2节将讨论由此引出的另一种变换形式DFT，在计算机上能方便地利用DFT来实现信号的频谱分析。 3.1.2
离散傅里叶变换(DFT)
~~在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时，对信号的要求是：在时域和频域都应是离散的，且都应是有限长。在图1.1中，只有DFS在频域和时域都是离散的，但x?nTs?和X?k?0?都是无限
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~2???长。由于exp??jnk?相对n和k都是以N为周期的，所以重要保证x?nTs?是以N点位周期的，那么
N??X?k?0?也是以N点为周期的。而且由X?k?0?在一个周期内取反变换得到的x?nTs?也能保证是以N点
为周期的。这一极好的性质引导出了如下的离散傅里叶变换对，即DFT。
N?1?2??N?1?nknk???x?n?WN?X?k???x?n?exp??j k=0,1,?,N-1 (1) N??n?0n?0?~~~1N?1?2??1N?1?x?n???X?k?exp?jnk???X?k?WNnk n=0,1,?,N-1 (2)
Nk?0?N?Nk?0式中x(n)，X(k)分别是x?nTs?和X?k?0?的一个周期；而WN?exp??j域、频域都是有限长，且又都是离散的一类变换。
DFT并不是一个新的傅里叶变换形式，它来自于DFS，只不过仅在时域和频域各取一个周期而已。离散傅里叶变换（DFT）开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行，这样大大增加了数字信号处理的灵活性。
我们在实际工作中常常遇到的是非周期序列，它们可能是有限长，也可能是无限长，对这样的序列作傅里叶变换，理论上应是做DTFT，得到周期的连续频谱Xe~~??2???。DFT对应的是在时N???。然而X?e?不能直接在计算机上做数
j?j?字运算，那么就应使用上式求x(n)的傅里叶变换，具体方法如下：
若x(n)是有限长序列，我们令其长度为N，若x(n)是无限长序列，我们可用矩形窗将其截成N点，然后把这N点序列视为一周期序列x?n?的一个周期，也就是说，x?n?是由x(n)作周期延拓所形成的。对x?n?求DFS，得到X?k?也是以N为周期的序列，其一个周期为X(k)。
长度为N的有限长序列x(n)的DFT为
kn k=0,1,?,N-1 X?k???x?n?WNn?0N?1~~~~考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接按上式计算X(k)值需要N次复数乘法、（N-1）次复数加法。因此对所有N个k值，共需要N次复数乘法及N(N-1)次复数加法运算。当N>>1时，N(N-1)≈N,由上述可见，N点DFT的乘法和加法运算次数均与N成正比。当N较大时，运算量相当可观。这对于要求实时信号处理来说，必将对计算速度提出难以实现的要求。所以，必须减少其运算量，才能使DFT在各种科学和工程计算中得到应用。
2
2
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3.1.3
快速傅里叶变换(FFT)
FFT这宗高效运算方法使DFT的运算效率提高1~2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了良好的条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。
2
如前所述，N点DFT复乘次数等于N。显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大
m减少。另外，旋转因子WN具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为
?j2??m?lN?N?j2?mNW其对称性表现为
m?lNN?e?em ?WNm?mN?mWNN?m??WN或者? WN?WN*WNm?N2m ??WNknFFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用WN的周期性和对称性来减
少DFT的运算次数。
多年来，各种算法层出不穷。本章仅简单介绍时间抽取基2FFT算法。 设序列x(n)的长度为N，且满足
N=2M， M为自然数
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1?r??x?2r?x2?r??x?2r?1?则x(n)的DFT为
r=0,1,?,N/2-1
X?k??N?12r?0n?偶数?x?n?WknN?n?奇数?x?n?WknN
2rk?2r?1?k ??x?2r?WN??x?2r?1?WNr?0N?12r?0N?12r?0N?12
2rkk??x1?r?WN?WN?x2?r?WN2rk
由于
W所以
2krN?e?j2?2krN?j?e2?krN2kr?WN
2X?k??N?12r?0?x?r?W1krN2k?WNN?12r?0?x?r?W2krN2k?X1?k??WNX2?k? k = 0,1,?,N-1
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其中X1?k?和X2?k?分别为x1?r?和x2?r?的N/2点DFT，即
X1?k??X2?k??N?12r?0?x?r?W12r?0krN2?DFT?x1?r?? ?DFT?x2?r??
N?12?x?r?Wk?N2krN2由于X1?k?和X2?k?均以N/2为周期，且WNk，所以X?k?又可表示为 ??WNkX?k??X1?k??WNX2?k? k = 0,1,?,N/2-1 N??k????X?k???X1k?WNX2k2??这样，就将N点DFT分解为两个N/2点的DFT。上面两式的运算可用图1.2所示的流图符号表示，根据其形状称之为蝶形运算符号。
AA+BCBCA-BC
图 3-2 蝶形运算符号
由图可见，要完成一个蝶形运算，需要一次复数乘和两次复数加法运算。经过一次分解后，计算一个N点DFT共需要计算两个N/2点DFT和N/2个蝶形运算。而计算一个N/2点DFT需要（N/2）2次复数乘和N/2(N/2-1)次复数加法。所以，计算N点DFT总共需要2（N/2）2+N/2=N(N+1)/2?N/2(N>>1时)次复数乘法和N(N/2-1)+2N/2=N2/2次复数加法运算。由此可见，仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。既然这样分解对减少DFT的运算量是有效的，且N=2M，N/2仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步分解。 3.2
2信号时域、频域概念
时域（时间域）——自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。其动态信号x（t）是描述信号在不同时刻取值的函数，如图1。
频域（频率域）——自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度,也就是通常说的频谱图。频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系，如图2。
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